Citation :
Dans tout le problème, n désigne un entier non nul, a et b deux nombres réels.
La notation
désigne le
-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans
et ayant un degré inférieur ou égal à n.
Pour tout
, on pose :
Dans toute cette partie, on suppose que n=1. On pose donc :
1. Démontrer que
est un endomorphisme de
2. Soit
la base canonique de
. Déterminer
.
3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que
soit bijective.
4. On suppose, dans cette partie seulement, que
.
(a). Démontrer que la famille
est une base de
.
(b). Calculer
et
puis déduire
(c). Déterminer la matrice de passage de la base
à la base
, notée
. Déterminer de même la matrice de passage de la base
à la base
, notée
.
(d). Donner, sans démonstration, une égalité reliant les maatrices
.
(e). Soit
. Calculer
puis en déduire, grâce à la question 4.(d), une expression de
(on donnera l'expressoin de chacun des coefficients de cette matrice).
5. On s'intéresse dans cette question à l'ensemble
.
(a). Démontrer que
est un sous-espace vectoriel de
.
(b). Prouver que les matrices
et
sont combinaisons linéaires de
et
.
(c). Déterminer une base de
6. On suppose dans cette question que a=4 et b=2. En utilisant les résultats de la question 5.(b), déterminer l'application
. En déduire la nature de
et préciser ses éléments caractéristiques (on donnera une base de chacun des deux espaces vectoriels concernés).
7. Démontrer que
est un endomorphisme de
.
8. On se propose dans cette question de déterminer
.
On pose
et on considère l'intervalle
.
(a). Démontrer que la fonction
est continue sur I.
(b). Déterminer une primitive F de la fonction f sur I.
(c). Résoudre sur l'intervalle I l'équation différentielle (E) :
(d). On suppose que n est pair et on écrit
avec
. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel
.
(e). On suppose maintenant que n est impair et on écrit
avec
. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel
(On pourra discuter suivant les valeurs de a et b).