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Niveau Maths sup
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Concours Commun 2008 - Mines sup

Posté par
gui_tou 19-05-08 à 19:35

Bonjour

Au menu de l'épreuve de maths : des maths ...

Quel problème vous intéresse en premier ?

Posté par
infophilere : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 19:38

Le premier : algèbre, polynômes...etc

merci

Posté par
Skopsre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 19:41

Salut

J'ai un peu regardé l'épreuve de maths et je trouve le premier et deuxième faisable
Bon après, ca parlait d'intégrale que j'ai pas encore vu donc bon... ^^

Par contre la physique, je pense que je me serai assez mangé -_-'

Sinon, vos avis pour ceux qui l'ont passé ?

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 19:47

Salut tout le monde !

Quelqu'un aurait les sujets ?

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 19:58

Citation :
6$\rm\fbox{\fbox{SECOND PROBLEME

On considère dans tout le problème les deux fonctions F et G définies sur 3$\rm{\bb R}^*_+ par :

3$F(x)={4$\fr{\sin(x)}{x}  et  3$G(x)={4$\fr{1-\cos(x)}{x}


4$\fbox{\rm Partie A : Etude de deux fonctions


1. (a). Montrer que les fonctions F et G sont continues sur 3$\rm{\bb R}^*_+.
    (b). Montrer que F et G sont prolongeables par continuité en 0. On notera encore F et G ces prolongements.
2. (a). Montrer que les fonctions F et G sont dérivables sur 3$\rm{\bb R}^*_+ et calculer leurs dérivées.
    (b). Démontrer, à l'aide de développements limités, que les fonctions F et G sont dérivables en 0. Préciser les valeurs de F'(0) et G'(0).
3. (a). Montrer que les réels strictement positifs tels que F(x)=0 constituent une suite 3$\rm(a_k)_{k\ge1 strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de 3$\rm a_k
    (b). Montrer que les réels strictement positifs tels que G(x)=0 constituent une suite 3$\rm(b_k)_{k\ge1 strictement croissante. Y a-t-il un lien entre les suites 3$\rm(a_k)_{k\ge1 et 3$\rm(b_k)_{k\ge1 ?
4. (a). Soit 3$\rm k\in{\bb N}^*. Montrer sans calcul qu'il existe un réel 3$ x_k\in]a_k,a_{k+1}[ tel que 3$F'(x_k)=0
    (b). Montrer que la fonction F' est de même signe que 3$ h : x\to x\cos(x)-\sin(x) sur 3$\rm{\bb R}^*_+.
    (c). Démontrer que pour tout 3$k\in \rm{\bb N}^*, la fonction h est strictement monotone sur 3$[a_k,a_{k+1}].
    (d). En déduire l'unicité du réel 3$x_k défini dans la question 4.(a).
    (e). Etablir que 3$\forall k\in{\bb N}^*,\;x_k\in]a_k,a_k+\fr{\pi}{2}[
    (f). Calculer \lim_{k\to+\infty} x_k puis déterminer un équivalent simple de la suite 3$(x_k)
5. Tracer l'allure de la courbe représentative CF de la fonction F lorsque l'abscisse x varie dans 3$[0,4\pi]. On se placera dans un repère orthonormal 3$(O,\vec{i},\vec{j}) tel que 3$\rm ||\vec{i}|| = 1cm et 3$\rm ||\vec{j}|| = 10cm. On fera apparaître clairement les tangentes horizontales à la courbe et on précisera les abscisses des points d'intersection de CF avec l'axe (O,i)


Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 20:47

La suite :

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 20:48

Citation :
4$\fbox{\rm%20Partie%20B%20:%20Deux fonctions definies par des integrales

Dans toute cette partie, E désigne l'ensemble des fonctions de classe C1 sur [0,1]. Si f appartient à E, on pose, pour tout x réel :

3$I_f(x)=\Bigint_0^1\,f(t)\cos(xt)dt         3$J_f(x)=\Bigint_0^1\,f(t)\sin(xt)dt

Soit f une fonction appartenant à E.

6. Soit 3$x\in{\bb R}. Justifier que les deux réels 3$I_f(x) et 3$J_f(x) sont bien définis.
On dispose donc de deux fonctions 3$I_f et 3$J_f définies sur 3${\bb R}

7. Déterminer la parité des fonctions 3$I_f et 3$J_f.
8. On se propose de calculer dans cette question les limites de 3$I_f et 3$J_f en +\infty et en -\infty.
   (a). Etablir que : 3$\forall x>0,\;I_f(x)+iJ_f(x)=\fr{f(1)e^{ix}-f(0)}{ix}-\fr{1}{ix}\Bigint_0^1f'(t)e^{ixt}dt
   (b). Expliquer rapidement pourquoi les fonctions f et f' sont bornées sur [0,1].
  On posera par la suite 3$M=\sup_{x\in[0,1]}\,|f(x)| et 3$M'=\sup_{x\in[0,1]}\,|f'(x)|

   (c). En déduire qu'il existe 3$A\in{\bb R}_+ tel que 3$\forall x>0,\;\|I_f(x)+iJ_f(x)\|\le\fr{A}{x
   (d). A l'aide de la question 8.(c), calculer 3$\lim_{x\to+\infty},\(I_f(x)+iJ_f(x)\).
     En déduire 3$\lim_{x\to+\infty}\,I_f(x) et 3$\lim_{x\to+\infty}\,J_f(x)
   (e). En utilisant une propriété obtenue sur les fonctions 3$I_f et 3$J_f, calculer 3$\lim_{x\to-\infty}\,I_f(x) et 3$\lim_{x\to-\infty}\,J_f(x).

9. L'objectif de cette question est de prouver que les fonctions 3$I_f et 3$J_f sont continues sur 3${\bb R.

   (a). Soient p et q deux réels. Rappeler la formule liant 3$\cos(p)-\cos(q) à 3$\sin\(\fr{p+q}{2}\) et 3$\sin\(\fr{p-q}{2}\).
   (b). Démontrer que : 3$\forall u\in{\bb R},\;|\sin(u)|\le|u| (on pourra par exemple utiliser l'inégalité des accroissements finis).
   (c). Soient x et y deux réels. Etablir que : 3$\|I_f(x)-I_f(y)\|\,\le\,|x-y|\,\Bigint_0^1\,t|f(t)|dt
   (d). En déduire que la fonction 3$I_f est continue sur 3${\bb R.
     Par un raisonnement analogue, on pourrait démontrer que la fonction 3$J_f est continue sur 3${\bb R mais ce n'est pas demandé ici.

10. A l'aide d'une fonction f judicieusement choisie, établir un lien entre les fonctions F et G de la partie A, et les fonctions 3$I_f et 3$J_f de la partie B.

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 20:49

Arg j'avais pas vu ta réponse Kéké

Posté par
infophilere : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 20:52

Si ça c'est pas de l'esprit contradictoire

Merci guigui pour cette SECONDE partie

Va réviser tu feras l'autre demain

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 21:21

Juste pour que le prochain fond soit blanc ^^

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 21:22

Citation :
                         6$\rm\fbox{\fbox{PREMIER%20PROBLEME

Dans tout le problème, n désigne un entier non nul, a et b deux nombres réels.
La notation 3$\rm {\bb R}_n[X] désigne le 3$\rm {\bb R}-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans 3$\rm {\bb R} et ayant un degré inférieur ou égal à n.

Pour tout 3$\rm P\in{\bb R}_n[X], on pose :

                             3$\rm \varphi_n(P)=(X-a)(X-b)P'-n\(X-\fr{a+b}{2}\)P


                               4$\fbox{\rm%20Partie%20A : Etude de \varphi_1

Dans toute cette partie, on suppose que n=1. On pose donc :

                             3$\rm \forall P\in{\bb R}_1[X],\;\varphi_1(P)=(X-a)(X-b)P'-\(X-\fr{a+b}{2}\)P

1. Démontrer que 3$\rm\varphi_1 est un endomorphisme de 3$\rm{\bb R}_1[X]
2. Soit 3$\rm\mathcal{B}_1=(1,X) la base canonique de 3$\rm{\bb R}_1[X]. Déterminer 3$\rm M_1=Mat_{\mathcal{B}_1}(\varphi_1).
3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que 3$\rm\varphi_1 soit bijective.
4. On suppose, dans cette partie seulement, que 3$\rm a\not=b.
   (a). Démontrer que la famille 3$\rm\mathcal{B}=\{X-a,X-b\} est une base de 3$\rm{\bb R}_1[X].
   (b). Calculer 3$\rm \varphi_1(X-a) et 3$\rm \varphi_1(X-b) puis déduire 3$\rm M=Mat_{\mathcal{B}}(\varphi_1)
   (c). Déterminer la matrice de passage de la base 3$\rm\mathcal{B} à la base 3$\rm\mathcal{B}_1, notée 3$\rm P_{\mathcal{B},\mathcal{B}_1. Déterminer de même la matrice de passage de la base 3$\rm\mathcal{B}_1 à la base 3$\rm\mathcal{B}, notée 3$\rm P_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}.
   (d). Donner, sans démonstration, une égalité reliant les maatrices 3$\rm M, M_1, P_{\mathcal{B},\mathcal{B}_1}, P_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}.
   (e). Soit 3$p\in{\bb N. Calculer 3$\rm M^p puis en déduire, grâce à la question 4.(d), une expression de 3$\rm M_1^p (on donnera l'expressoin de chacun des coefficients de cette matrice).

5. On s'intéresse dans cette question à l'ensemble 3$\rm \Gamma=\{\alpha I_2 + \beta M_1 + \gamma M_1^2 + \delta M_1^3,\;(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in{\bb R}^4\}.
   (a). Démontrer que 3$\rm\Gamma est un sous-espace vectoriel de 3$\rm\mathcal{M}_2({\bb R}).
   (b). Prouver que les matrices 3$\rm M_1^2 et 3$\rm M_1^3 sont combinaisons linéaires de 3$\rm M_1 et 3$\rm I_2.
   (c). Déterminer une base de 3$\rm \Gamma

6. On suppose dans cette question que a=4 et b=2. En utilisant les résultats de la question 5.(b), déterminer l'application 3$\rm\varphi_1^2. En déduire la nature de 3$\rm\varphi_1 et préciser ses éléments caractéristiques (on donnera une base de chacun des deux espaces vectoriels concernés).


                               4$\fbox{\rm%20Partie%20B : Quelques generalites sur \varphi_n


7. Démontrer que 3$\rm \varphi_n est un endomorphisme de
3$\rm {\bb R}_n[X].

8. On se propose dans cette question de déterminer 3$\rm Ker(\varphi_n).
On pose 3$\rm \alpha=\max(a,b) et on considère l'intervalle 3$\rm I=]\alpha,+\infty[.

   (a). Démontrer que la fonction 3$ f : x\to\fr{2x-(a+b)}{x^2-(a+b)x+ab est continue sur I.

   (b). Déterminer une primitive F de la fonction f sur I.
   (c). Résoudre sur l'intervalle I l'équation différentielle (E) : 3$y'\,-\,\fr{nx-n\fr{a+b}{2}}{(x-a)(x-b)}y\,=\,0

   (d). On suppose que n est pair et on écrit 3$\rm n=2p avec 3$\rm p\in{\bb N}^*. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel 3$\rm Ker(\varphi_{2p}).

   (e). On suppose maintenant que n est impair et on écrit 3$\rm n=2p+1 avec 3$\rm p\in{\bb N}. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel 3$\rm Ker(\varphi_{2p+1})
(On pourra discuter suivant les valeurs de a et b).

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 21:25

c'est bien comme sujet !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 21:26

merci guigui !

et va réviser comme te dit papa kev !

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 21:27

Coquille : partie B Quelques généralités

Y a une partie C, pénible à souhait (j'y ai pas touché d'ailleurs )

Edit Coll : coquille corrigée

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 21:29

Merci msieur

T'as quoi pour l'équivalent de x_k et pour Ker(Phi_2p) ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 21:36

Intéressant comme sujet ! Je mettrai une demande à océane pour le mettre en contribution

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:34

Oui Greg, sujet de cet aprèm, lundi 19 mai 2008

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:38

Citation :
Intéressant comme sujet !


->Lol, tu plaisantes monrow?!

Non seulement il n'y a rien d'original, mais en plus les calculs sont d'un rébarbatif!

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:40

Ba fallait pas se planter dans un calcul, en algèbre

Tu le trouves si nul que ça le sujet, Greg ? (qu'est-ce que tu vas penser de la partie C alors )

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:43

Citation :
Tu le trouves si nul que ça le sujet, Greg ?



->Euh...oui!

Posté par
Bladestre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:49

Salut.
Moi, je trouve qu'il était plutôt facile comparé aux précédents. Quand j'essayais de faire les anciens type concours, je bloquais souvent sur plus de la moitié du sujet. Aujourd'hui, j'ai trouvé que plus d'1/3 du sujet était abordable.
Cela dit, je parle, mais j'ai fait à peu près la moitié... ça vient de moi, je suis très lent, ça me perdra...
Pour la partie C, la 1ère question c'est du calcul et la suivante je pense qu'elle est faisable aussi, juste une égalité entre 2 expressions avec les "X" si j'ai bien compris, mais je l'ai pas faite non plus :-p .

Posté par
Bladestre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:50

*"Plus de 2/3 du sujet était abordable" je voulais dire !!

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:55

Ba vi le second problème y avait moyen de tout faire (excepté deux ou trois questions) mais le premier ... pas mal calculatoire.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 19-05-08 à 22:56

Tigweg>> je voulais pas déprimer du monde ! Sinon c'est vrai qu'il est trooop calculatoire comme sujet ! mais bof on ne peut pas poser de nouvelles notions dans les petites mines !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 20-05-08 à 00:16

Je le reconnais bien volontiers Monrow!

Mais bon c'est vraiment un sujet bateau-mouche pour faire visiter le patrimoine, voire les antiquités!

Ca manque de dépoussiérage en somme, et ça la fout mal en pleine saison de grand nettoyage de Printemps!

Posté par
Camélia Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 20-05-08 à 14:50

Bonjour à tous!

Moi je le trouve pas mal ce sujet; ce n'est pas nécessaire de faire très original pour un concours!
Courage pour la suite.

>Greg N'oublie pas que les jeunes le voient pour la première fois!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 20-05-08 à 16:42

Bonjour Camélia

Citation :
ce n'est pas nécessaire de faire très original pour un concours!


->Les sujets de concours sont parfois très originaux (voir Agreg, Capes, ENS etc...).
C'est vrai qu'en Première Année, il y a peut-être moins de choix possibles...

Cependant je suis sûr qu'ils l'avaient déjà fait en classe, aux coefficients près disons!

Posté par
fusionfroidere : Concours Commun 2008 - Mines sup 20-05-08 à 18:09

J'aime bien les sujets où il faut démontrer un théorème, où les problèmes à thème ...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 20-05-08 à 18:13

Voilà, moi aussi!

Posté par
fusionfroidere : Concours Commun 2008 - Mines sup 20-05-08 à 18:15

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 15:56

Enfin, la dernière partie du sujet de maths commun :

Citation :
                4$\fbox{\rm%20Partie%20C%20:%20Intersections de courbes dans le cas ou n=2


Dans toute cette partie, on suppose que 3$n=2,\;a=b,\;\rm{et }a\,>\,1.
On munit le plan d'un repère orthonormal 3$\mathcal{R}=\(O,\vec{i},\vec{j}\) avec 3$\rm%20||\,\vec{i}\,||=||\,\vec{j}\,||=1cm

9. Calculer 3$\rm\varphi_2(1),\,\varphi_2(X) et 3$\rm\varphi_2(X^2). Dans toute la suite, on désigne par f et g les fonctions polynômiales associées respectivement aux polynômes 3$\rm\varphi_2(1) et 3$\rm\varphi_2(X^2). On note 3$\mathcal{C}_f et 3$\mathcal{C}_g les courbes représentatives de ces deux fonctions.

10. (a). Montrer que les courbes 3$\mathcal{C}_f et 3$\mathcal{C}_g admettent exactement deux points d'intersection : les points 3$\rm A_a et 3$\rm B_a dont les coordonnées cartésiennes dans 3$\mathcal{R} sont respectivement 3$\rm A_a(a,0) et 3$\rm B_a(\fr1a,-\fr2a+2a)

      (b). Démontrer que, lorsque a varie dans 3$]1,+\infty[, tous les points 3$\rm B_a appartiennent au même ensemble E (indépendant de a) dont on précisera une équation cartésienne.

      (c). Montrer que l'ensemble E est une conique dont on précisera (en le justifiant) la nature (aucune autre information n'est demandée sur E)

      (d). Après une rapide étude, tracer l'allure de la courbe E dans 3$\mathcal{R

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:03

Salut guigui !

comment t'as passé le reste? t'aurais pas la spécifique aussi?

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:09

Salam Mary.. Mohamed

L'épreuve spécifique de physique-chimie était assez ... horrible (plein de chimie, un peu d'optique, un peu d'AO, un peu de mouvements à force centrale, et un peu de thermo)

J'ai pas le sujet de spé maths, mais je crois que le premier problème c'était des matrices, et le deuxième une étude de fonction, ça avait pas l'air évident

Sinon, sujet de dissertation : "L'histoire est surtout le théâtre de grandes personnalités" ..

J'ai dit oui, non, et un peu des deux

Posté par
infophilere : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:11

Intéressant

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:11

je dis rien moi pour le français ! c'est quoi déjà le thème qu'on avait cette année? !

Pour la physique, j'ai vu le sujet commun, c'était assez diffcile, donc je ne veux pas voir la spécifique !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:12

Lol...C'est original comme approche en tout cas!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:13

Salut Monrow!

Bon ça y est, c'est les vacances pour vous, ou presque!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:15

Tigweg>> Oui je suis en vacances pendant deux semaines !    Ils passent le concours marocain (CNC) cette semaine ... et puis on a cours pendantt deux semaines après les vacs, et après ..., après ... c'est les GRRAAAANDES VACAAANCES

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:39

Bien!

Tu vas donc pouvoir te consacrer corps et âme à ton sujet de TIPE sur Bernstein!

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:47

Si quelqu'un trouve des corrigés... je suis intéressé!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:55

Tigweg>> Je l'ai fini et je l'ai même donné à mon prof pour le relire !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:57

Ah bon??Comme tu n'en parlais plus, je pensais que tu remettais le sujet à plus tard!

Félicitations dans ce cas!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Concours Commun 2008 - Mines sup 21-05-08 à 16:59

Bof, j'ai eu marre de ce sujet! Et puis j'ai un ds d'algèbre linéaire et euclidienne la semaine de la rentrée ... donc ...

Merci

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 24-05-08 à 20:04

Si quelqu'un a une réponse à la question 10 d'analyse, ça m'intéresse ^^

Posté par
disdrometrere : Concours Commun 2008 - Mines sup 24-05-08 à 22:19

salut lucky

essaie f(t)=1

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 24-05-08 à 23:12

salut jolly

ok merci je regarde ça !

Posté par
gui_toure : Concours Commun 2008 - Mines sup 11-06-08 à 20:48

Juste pour dire que les résultats d'admissibilité tombent aujourd'hui. (enfin si le serveur veut bien y mettre du sien )

Posté par
infophilere : Concours Commun 2008 - Mines sup 11-06-08 à 20:53

Quand il aura mis du sien : t'es admissible ?

Posté par
infophilere : Concours Commun 2008 - Mines sup 12-06-08 à 06:40

GG


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