salut
poste ton épreuve du concours ENSI 1988 M deuxième composition de mathématiques

bon j'ai pas pu la poster, mais elle se trouve sur ce lien :

http://www.e-supnet.com/Dev-Sujets/Cpge/1988/ENSI88Math2M-e.pdf

Bonjour pour la premiere question tu montres que ca s'annule et apres tu dis que le polynome minimal est scinde a racines simples donc f est diagonalisable.En fait t'as directement les deux valeurs propres du 2)b).

Pour la deuxieme j'ai utilise la 1) en remplacant f et Id par leur expression  pour montrer que qop=poq=0. On en deduit q²=q et  p²=p en utilisant que po(p+q)=p.

Pour montrer la bijectivite compose f avec bp+aq.Apres pour la formule ca doit se faire par recurrence.

Pour la 3) tu peux ecrire f(x+y) et f²(x+y) de deux facons avec x dans Ker(f-ae) et y dans Ker(f-be) apres en faisant af(x+y)-f²(x+y) tu vois que q(x+y)=q(y) de meme pour p.

Bon je m'arrete la

merciiiiiii, mais g déjà avancé ds ces prmeières questions. il me faut le corrigé tt entier tu vois ? ,mais merci kan même !

Oui mais je n'ai pas le corrige tout entier malheureusement

Pour la suite F est engendre par les deux endomorphismes p et q qui forment une famille libre de L(E) donc F est de dimension 2.

Apres si tu prend un element u de R(f) inter F ca veut dire que u²=f et u=xp+yq donc x²p+y²q=ap+bq ca donne 4 solutions pour u.

Pour le 5) tu peux montrer facilement que J^m=3^(m-1)J et pour en deduire A^m tu ecris A=J+Id et tu utilises le binome de Newton.