Niveau Master Maths

Conducteur

Posté par
lemoco 14-06-19 à 11:36

Bonjour,
Si k est un corps local et A son anneau d'entier, et K une extension finie de k, d'anneau d'entiers B, alors il est bien connu que l'on peut trouver $\theta$ , tel que $B=A[\theta]$ .
Si k est un corps de nombre d'anneau d'entiers A, et K une extension finie de k, d'anneau d'entiers B, alors ce résultat est faux en général. Toutefois K/k est monogène, et on peut toujours choisir un générateur qui soit entier, on peut donc regarder $A[\theta]=B'\subseteq B$ qui est un ordre de B.
On peut regarder le conducteur de B dans B', noté en général $\mathfrak{f}(B'/B)$ ou simplement $\mathfrak{f}$ qui est l'ensemble des $f\in B, tq \ fB\subseteq B'$ , c'est le plus grand ideal de B qui soit contenu dans B'.

Il est facile de prouver que pour $\mathfrak{p}$ ideal de B, premier avec le conducteur alors $B/\mathfrak{p}\simeq B'/\mathfrak{p}\cap B'$ . Cette propriété est bien utile.
Si l'on se fixe un ideal premier $\mathfrak{p}_0$ , peut on toujours trouver $\theta$ entier qui génère K/k, tel que $(\mathfrak{p}_0,\mathfrak{f}(B/A[\theta]))=1$ ?