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Niveau Master Maths
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Conducteur

Posté par
lemoco
14-06-19 à 11:36

Bonjour,
Si k est un corps local et A son anneau d'entier, et K une extension finie de k, d'anneau d'entiers B, alors il est bien connu que l'on peut trouver  \theta, tel que B=A[\theta].
Si k est un corps de nombre d'anneau d'entiers A, et K une extension finie de k, d'anneau d'entiers B, alors ce résultat est faux en général. Toutefois K/k est monogène, et on peut toujours choisir un générateur qui soit entier, on peut donc regarder A[\theta]=B'\subseteq B qui est un ordre de B.
On peut regarder le conducteur de B dans B', noté en général \mathfrak{f}(B'/B) ou simplement  \mathfrak{f} qui est l'ensemble des f\in B, tq \  fB\subseteq B', c'est le plus grand ideal de B qui soit contenu dans B'.

Il est facile de prouver que pour \mathfrak{p} ideal de B, premier avec le conducteur alors B/\mathfrak{p}\simeq B'/\mathfrak{p}\cap B'. Cette propriété est bien utile.
Si l'on se fixe un ideal premier \mathfrak{p}_0, peut on toujours trouver \theta entier qui génère K/k, tel que (\mathfrak{p}_0,\mathfrak{f}(B/A[\theta]))=1 ?

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