Qu'est ce que tu veux dire par meme premiere forme fondamentale?
Tu veux dire qu'il existe un homeo de S^2 sur S1xR tel que le tiré en arrière de la forme fondamentale de l'un soit celui de l'autre?
Si c'est le cas une telle chose n'existe pas.

Le cylindre est plat, sa premiere forme fondamentale est triviale.
Ca n'est pas le cas de la sphere.

Bonjour Poncargues et merci de me répondre. Non, je parle ici de la premiere forme fondamentale (comme il y a aussi une deuxieme forme fondamentale).  C'est à dire la restriction du produit scalaire sur l espace tangent, que l on calcul avec ce que l on appelle les coefficients de la premiere forme fondamentale. Ce sont des notions qui font parties du cours des surfaces de L3/M1.  https://www.math.univ-toulouse.fr/~guedj/fichierspdf/GeomDiff2015.pdf

Oui je sais ce qu'est la premiere forme fondamentale d'un surface. Ce que je ne comprend pas c'est ce que tu appelles "meme forme fondamentale". La premiere forme fondamentale de la surface "vit" sur la surface, donc si tu as deux surfaces, les deux formes fondamentales ne "vivent" pas sur la meme chose.
Dit formellement la premiere forme fondamentale de la surface c'est le tiré en arrière du produit scalaire naturel de R^3 via le plongement i:S ->R^3 pour une surface S plongée dans S, c'est une section du ou TS* est le fibré cotangent.
Du coup si tu as deux surfaces S et S', comment compares tu leur formes fondamentales?
A moins que ton cours l'introduise de manière differente.

J'ai jeté un oeil à ton poly, et c'est bien la définition que je te donne en particulier la definition 2.3.5 est peu ou prou celle que je donne dans mon premier message.

tu as raison, je me posais la mm question. Il s agit de deux objets differents (deux fonctions definies sur des espaces différents). Cependant, il est fait mention dans plusieurs cours qu'elles peuvent etre identiques entres deux surfaces differentes (je n ai pas regardé avec soin le poly que je t ai envoyé, je ne sais pas si cela y est dit aussi). En fait, si je comprends bien, je crois que la premiere forme fondamentale de deux surface est dite identique si pour tout point appartenant à l'intersection des tangentes, leur premiere  forme quadratique fondamentale est identique (ce que l on montrerait par le processus d'orthogonalisation de Gram Schmidt)

Dans tous les cas ce qui est vrai c'est que tu as une version locale de ton théorème. Qui est essentiellement triviale d'ailleurs.

Pour ton théorème global je vois comment en donner une version qui la aussi a du sens, mais elle utilise des choses un peu plus sophistiquées (et pas dans l'esprit de ton poly) qui conduisent à la classification des surfaces compactes connexes réelles et orientables.

Pour la sphere unité et le cylindre, ils ne sont pas localement isométriques, comme tu l'as remarqué.

Si tu as une reference ou ton théoreme est sur la "meme forme fondamentale" est énoncé de manière précise alors n'hésite pas à la poster.

Mon cours ne figure pas en ligne mais j ai trouvé celui ci où l on peut retrouver cette proposition :
https://www.math.univ-toulouse.fr/~guedj/fichierspdf/GeomDiff2015.pdf

proposition 2.3.6

Oui, mais la proposition 2.3.6 est locale, du coup on peut facilement comprendre ce qu'elle veut dire.
Deux surfaces ont localement la même premiere forme fondamental s'il existe localement un diffeo de R^3  qui envoie une surface dans l'autre et qui envoie une forme fondamentale sur l'autre (en restriction aux deux surfaces) par pull back.

tout ca est encore trop flou pour moi... Dans les faits, nous avons pour le cylindre C paramétré par
:[0,2[xR->R³,(u,v)->(cos u, sin u, v) : E=G=1 et F=0 en tout point. Pour p=(u₀,v₀) et
w=d/du(u₀,v₀)+d/dv(u₀,v₀) dans T_pC, nous avons : I_p(w)=²+².

Pour la sphere S, paramétré par :]-/2,/[x]-/,3/[-R³,(u,v)->(cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u)) : E=1, G=cos²(u₀) et F=0 au point (u₀,v₀). Pour q=(u₀,v₀) et w=d/du(u₀,v₀)+d/dv(u₀,v₀) dans T_pC, nous avons : I_q(w)=²+²cos²(u₀).

Or, pour w dans l'intersection de T_pC et T_qS, nous avons =cosu₀ et
(-sin(u₀))=(-sinu₀cosv₀)+(-cosu₀sinv₀) et
(cos(u₀))=(-sinu₀sinv₀)+(cosu₀cosv₀). On retrouve bien
I_p(w)=²+²=I_q(w)=²+²cos²(u₀).

Cela ne prouve t il pas que la premiere forme fondamentale de ces deux surfaces est identique?

Ben, non...
Mais la ce que tu regardes est encore different, et ne correspond pas à ce que j'appelle 1ere forme fondamentale de la surface.

Je suis un peu perdu... comment prouverais tu par exemple que le cône privé de son sommet d equation x²+y²=z² a la meme premiere forme fondamentale que le cylindre x²+y²=1? Je crois que ca m aiderait beaucoup de voir comment tu procederais..

x^2 + y^2 = z^2 <=> (x/z)^2 + (y/z)^2 = 1 pour tout z <> 0

Bonjour carpediem. Je n'arrive pas à voir en quoi cela prouve qu ils ont la mm premiere forme fondamentale... :/

Je ne travaille pas spécialement avec la premiere forme fondamentale qui est une notion un peu "vieillotte".
Et comme je ne comprend toujours pas ce que tu veux dire par "avoir la meme premiere forme fondamentale".
Donc je peux pas vraiment repondre à ta question.
Par contre je peux prouver que tes surfaces sont isométriques.

isométriques localement bien sur!

Par avoir la même première forme fondamentale pour deux surfaces S_1 et S_2, j'entends qu'elles admettent chacune (localement) un paramétrage \phi_1 et \phi_2 définis sur le même ouvert U_0 de R^2  tels que
E_{\phi_1}=E_{\phi_2},  F_{\phi_1}=F_{\phi_2}, G_{\phi_1}=G_{\phi_2}, comme fonctions sur U_0

Et qui sont E, F et G?
Encore une fois je ne peux pas lire dans ta tete.

Bon, j'imagine que la situation est la suivante.
Tu te donnes un difféomorphisme de R^2 dans un ouvert de ta surface X plongée dans R^3. Disons f: R^2 ->U, le produit scalaire de sur R^3 te donne une métrique sur U que tu tire en arrière via f, et tu te demandes quel métrique sur R^2, qui est donc donnée par un matrice symétrique (et def positive) dont les coefficients sont des fonctions lisses. C'est ces coeff que tu appelles E, F et G n'est ce pas?

Dans mon message precedent j'ai pris R^2 à la source (on peut toujours se ramener à ce cas), mais tu peux en effet prendre un U_0, qui est simplement un ouvert de R^2.

La page 67 de ce polycopié donne une definition détaillée : https://www.math.univ-toulouse.fr/~guedj/fichierspdf/GeomDiff2015.pdf

Je commence à me lasser un peu.
Ce poly donne une définition de la premiere fondamentale, oui. C'est le meme que la mienne.

pour le cylindre : E=G=1, F=0. Pour le cone : E=v², F=0 et G=2.

Ok, donc le cylindre est localement isométrique au plan.
Le second ne prouve pas directement que le cone est localement isométrique au plan, mais pas loin, calcule l'expresson de la premiere forme fondamentale d'un secteur angulaire du plan paramétrisé en polaire judicieusement. Et tu devrais trouver la meme chose.