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configuratin du plan aires
Bonjour,
on place un point P quelconque a l'intérieur d'un triangle équilatéral ABC On veut démontrer le théoreme suivant la somme des distances de P aux cotés du triangle est constante et égale à la hauteur du triangle.
Pour démontrer cela ,on peut considérer les point Q, R et S, pied des hauteurs issus de P dans les triangles APB, BPC et CPA.On utilisera [AH] hauteur du triangle.
Je ne comprend pas du tout comment faire. Quelle propriéte faut-il utiliser ?
Merci
Bonjour,
Excellent titre ! Il devrait te donner des idées pour la résolution du problème...
En reliant le point P aux trois sommets A, B et C tu définis trois nouveaux triangles.
Calcule l'aire du triangle équilatéral
Calcule les aires des trois petits triangles
et conclus !
Bonjour,
BC = BA = AC
Aire ABC = BC*AH/2
Aire APB = QP *BC/2
Aire APC = BC * SP/2
Aire CBP = BC * RP/2
Les trois triangles quelconques APB, APC et CBP se trouve dans le triangle équilatéral avec le lequel ils ont chacun un coté en commun pour APB : AB pour APC : AC et pour CBP : CB.De plus les trois "petits traingles" sont côte à côte d'où l'aire ABC = Aire APB + Aire APC + Aire CPB.
Tous les triangles ont une base de longueur BC on peut donc dire que seule les hauteurs associée varies donc AH = QP + SP + RP.
Est-ce bon ?
Merci
Tu as vu ce qu'il fallait faire.
Je reprends la rédaction :
Aire APB = (1/2)AB 
PQ
Aire BPC = (1/2)BC PR
Aire CPA = (1/2)CA PS
Aire de la somme de ces trois triangles = aire ABC = (1/2)BC AH
Mais puisque le triangle ABC est équilatéral : AB = BC = CA
et donc
(1/2)AB (PQ + PR + PS) = (1/2)AB AH
conclusion
PQ + PR + PS = AH
Merci c'est ce que je voulais dire mais j'ai eu du mal l'expliquer,alors comme tu la écrit sa semble beaucoup plus clair pour dire la même chose
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