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confirmation de caculs

Posté par le_sage (invité) 08-06-05 à 06:57

Salut tout le monde

en fait j'ai la matrice M-2I qui est nilpotente
car (M-2I)^3=0
on me demande qu'elle est le polynome minimal de M?
j'ai répondu:
poly. minima= (X-2)^3 est ce que c'est bon?
ensuite, il faut en déduire sans calcule polynome caractéristique de M.
j'ai mis:
poly.caractéristique= X(X-2)^3   c bon?????????
enfin déterminer sans calcul, la reduite de jordande M ??

alous la je perds carrément le nord.
si qu'elle que m'aider a trouvé et a me donner des astuces, pistes suplémentaire la dessus sa me ferait plaisir.
Cordialement le_sage

P.S: M=
-1    2    2    1
4     0   -2    0
-5    3    5    1
-12   7    7    4

Posté par
otto
re : confirmation de caculs 08-06-05 à 11:04

Bonjour,
le polynôme minimal n'est pas forcément (M-2)^3, mais en tout cas ce polynôme est annulateur.
Montre que (M-2)^k k=1,2 est non nul et ce sera correct.

Pour la suite, il me semble que c'est faux. En effet, les racines du polynômes minimal sont (de souvenir, donc attention) les mêmes que celles du polynôme caracteristique, à l'ordre près des facteurs.
Notamment ici 0 est racine du polynôme caracteristique et non du polynôme minimal, tu en déduis que 0 est valeur propre d'ordre 1, et donc que ker M est de dimension au moins 1. (et donc m pas inversible)
En regardant ta matrice et le fait que (M-2)^3=0 c'est clairement faux puisque
(M-2)^3=M^3-2M²+4M-8=0
Ainsi on en déduit que
M(M²-2M+4)/8=1
et donc que M est inversible d'inverse (M²-2M+4)/8
Contradiction.
Donc c'est faux, ton polynôme caractéristique est je pense
(M-2)^4

Ensuite, trouver la réduite de jordan c'est facile, ta matrice a un polynôme caractéristique de degré 4 et minimal de degré 3.
Ca doit etre je pense dans ton cours ca, je n'ai plus trop de souvenirs de mes lointains cours d'algèbre linéaire, mais de tête, je dirais que c'est

(2 0 0 0)
(0 2 1 0)
(0 0 2 1)
(0 0 0 2)

Mais ne me fais pas confiance sur ce dernier résultat, ca fait vraiment trop longtemps que j'ai fait ca, et je n'ai pas le temps de réfléchir au fait que ce soit juste.
En tout cas l'indice de nilpotence doit te donner le nombre de blocs ou la taille du plus grand bloc de Jordan ou un truc de ce genre là.
Désolé de ne pas assurer sur la dernière question.
Bonne chance,
a+

Posté par le_sage (invité)re : confirmation de caculs 08-06-05 à 15:55

Merci otto de m'avoir donner ces éléments qui m'aide bien

mais par contre : quand tu dis :
"Montre que (M-2)^k k=1,2 est non nul et ce sera correct."
on fait que le calcul avec k=1 et k=2 ??? je pige pa trop la fait pour trouver le polynome minimal.
mais je vais trouvé, il faut que j'y arrive

merci

CORDIALEMENT le_sage

Posté par
otto
re : confirmation de caculs 08-06-05 à 18:57

Salut,
Si tu montres que (M-2)^3 tu montres que (X-2)^3 est bien un polynôme annulateur de ta matrice, mais ca ne prouve pas qu'il n'y a pas un polynôme de degré plus petit qui annule ta matrice.
Comme l'ensemble des polynômes annulateur est un idéal principal (ie engendré par un seul élément), il faut forcément que ton polynôme annulateur soit
(X-2)^k
et puisque k=3 est déjà un polynôme annulateur et que l'on cherche le plus petit, k>3 n'est pas à considérer.
A+



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