bonjour
1)On nous demande de résoudre dans ZxZ l'équation: 47x+53y=1  avec (-9,8) solution particulière.
je trouve (-53k-9;8+47k) avec k appartient à Z.
2)déterminer l'ensemble des inverses de 47 modulo 53. et en déduire que 44 est le plus petit inverse positif de 47 modulo 53.
on doit résoudre l'équation 47x1mod(53) qui est équivalent à 47x=1+53y avec  y appartient à Z et d'après 1) on a x=-53k-9 avec kappartient à Z sont les inverses de 47 modulo 53. pour k=-1 on obtient le plus petit qui est 44.
3) a) justifier que 45^521mod(53)  d'après fermat c'est facile.
b) déterminer alors le reste de 45^106 mod(53) et je trouve 11.
4) soit N=1+45+45^2+45^3+....+45^105
a) Montrer que 44N10mod(53).  on a N=1/44 (45^106-1) d'ou 44N=45^106-1 et d'après 3)b)
on trouve 44N10mod(53).
b) en déduire le reste de N modulo 53.
je ne trouve pas la dèrnière réponse on ne peut pas utiliser de tableau de congruence car le nombre 53 est grand et je ne trouve pas d'autre idée. peut etre 44 est l'inverse de 47 modulo 53 peut servir mais je ne sais pas comment.
qui peut m'aider et merci .