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Congruence

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
17-07-09 à 04:50

Bonjour,

Soit N un nombre entier entre 1 et 260. Il existe un couple unique d'entiers (A;B) tel que N est congru à A modulo 13 et à B modulo 20. (13*20=260)

Inversement, si je connais A et B y a-t-il un moyen direct et général de retrouver N à partir de A et B ??

minkus

Posté par
olive_68
re : Congruence 17-07-09 à 06:04

Salut minkus

Bon une idée de quelqu'un pas fameux en arithmétique donc à voir..

On sait que un tel nombre s'écrira 3$N=\{ 13k+A \\ 20k^'+B    k,k^'\in \bb{R}

On aura donc 3$\blue \fbox{13k+A=20k^'+B, où autrement présenté : (Ca me fait penser à Bezout ..)

                          3$\red \fbox{\fbox{13k-20k^'=B-A                (On aura \rm -12\le B-A\le 19)

Puisque 3$13 et 3$20 sont premier entre eux, on peut donc affirmer d'après le théorême de Bezout que il y a bien un moche qui sera solution de cet équation (D'après mes maigres souvenirs)..

Donc il faut utiliser l'algorythme d'Euclide si on ne trouve pas de solution évidente..

Voilà comment je vois la chose moi ^^  J'éspère ne pas t'avoir raconté un truc hors sujet ..

Tu penses quoi de ça toi ?

Posté par
olive_68
re : Congruence 17-07-09 à 07:07

Ah oui j'ai oublié de préciser, un couple correspond obligatoirement à un unique nombre (En tout cas dans l'ensemble des nombres que tu nous impose) puisqu'il y a 13 possibilités pour A et 20 pour B soit 260 possibilités de couple et d'après ce que tu dis tout en haut il y a bien unicité dans les deux sens du nombre et du couple.

Et là aurait du venir ce que j'ai dis avant ^^'

Posté par
infophile
re : Congruence 17-07-09 à 09:36

Bonjour

c'est le théorème des restes chinois, l'unicité est garantie par le fait que 13 et 20 sont premiers entre eux, ainsi Z_{13}\times Z_{20} est isomorphe à Z_{260}.

Posté par
infophile
re : Congruence 17-07-09 à 09:37

Citation :

Inversement, si je connais A et B y a-t-il un moyen direct et général de retrouver N à partir de A et B ??


donc oui, voir par exemple ici :

Posté par
sloreviv
re : Congruence 17-07-09 à 10:31

Bonjour,
40-39=1;
20*2-13*3=1;
20*(A-B)*2-13*3*(A-B)=A-B ;
13*(-3)*(B-A)-20*(B-A)*(-2)=B-A
donc les solutions de
13*k-20*k'=B-A sont
k=-3*(B-A)+20z et k'=-2*(B-A)+13z  z variable entiere
N=13*(-3*(B-A)+20z)=260z-3*(13*(B-A)

on voit bien que les differents N sont espaces de 260 donc un seul N est entre 1 et 260

Posté par
sloreviv
erreur 17-07-09 à 10:41

je reprends lavant derniere ligne N=13*(-3*(B-A)+20z)+A=260z-3*(13*(B-A)+A
on voit bien que les differents N sont espaces de 260 donc un seul N est entre 1 et 260
modulo 13 ca fait Ncongru à A
modulo 20 N=260z+40A-39B=260z+40(A-B)+B , N congru à B

Posté par
olive_68
re : Congruence 17-07-09 à 14:19

Salut à tous

Est-ce que c'est moi qui a mal compris cette phrase?

Citation :
y a-t-il un moyen direct et général de retrouver N à partir de A et B ??


^^ Tout le monde dis qu'il y a un unique N  mais pas de méthode, Où tu ne voulais pas de méthode minkus ?

Posté par
infophile
re : Congruence 17-07-09 à 14:31

Si si la méthode est dans le lien

Posté par
olive_68
re : Congruence 17-07-09 à 14:39

A pardon

Posté par
infophile
re : Congruence 17-07-09 à 14:57

C'est un truc que tu verras en sup', d'ailleurs on avait aussi eu le droit à l'histoire des pirates ^^

Mais ce que t'as fait est bien olive

Posté par
sloreviv
re : Congruence 17-07-09 à 14:57

je n'ai fait que detailler les idees de Olive, plus facile à lire qu'un lien  . et comme je sais qu'olive vient de passer le bac je trouve que ce qu tu ecris Olive est vraiment TB en plus ton Latex est super!

Posté par
infophile
re : Congruence 17-07-09 à 15:01

Tout à fait

L'avantage de la méthode dans le lien est que ça se généralise à un système de congruences quelconque.

PS : c'est algorithme

Posté par
olive_68
re : Congruence 17-07-09 à 15:16

Ah ben je pense déjà regarder ça ces vacances, ça à l'air pas mal enfin peut-être trop compliqué si on sort directement d'une terminale ?

Ah pardon sloreviv je suis pas très futé moi aujourd'hui ^^

Merci c'est gentil ! c'est réconfortant


Citation :
PS : c'est algorithme

\to Ah je me disais bien que il avait une vilaine tête ce mot sinon .. me suis dis 3$ \rm r\fbox{y}thme \ \to \ algor\fbox{y}thme
Je le saurais la prochaine fois merci

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Congruence 17-07-09 à 18:58

Merci a tous pour votre aide et a Kevin pour le lien. Ca fait longtemps que je n'ai pas mis les pieds à Chinatown

Des que j'ai un peu de temps je vais fouiller le lien et voir comment adapter ça pour mes 6e.

Pour Olive le mot ALGORITHME vient du savant perse AL KHWARIZMI, rien que des I

Posté par
olive_68
re : Congruence 17-07-09 à 22:33

Quel culture

Posté par
MataHitienne
re : Congruence 18-07-09 à 17:39

Citation :
AL KHWARIZMI, rien que des I

M'enfin les I sont eux-mêmes une retranscription non ?
C'est juste par convention qu'on a utilisé des I

Posté par
olive_68
re : Congruence 18-07-09 à 17:49

Et d'où vous savez tout ça vous ?

Posté par
MataHitienne
re : Congruence 18-07-09 à 18:22

Parce que c'est un nom arabe et qu'au VIIIème siècle (l'époque du monsieur, plus ou moins 1 ou 2 siècles) je les vois mal utiliser l'alphabet européen (enfin le nôtre)

Sinon, Al Khwarizmi est le précurseur de l'algèbre (si mes souvenirs sont bons ^^)

Je te conseille : le théorème du perroquet (Denis Guedj), où tu peux apprendre quelques noms de mathématiciens utiles

Posté par
infophile
re : Congruence 18-07-09 à 18:26

J'allais dire, c'est dans ce bouquin que j'ai connu ce monsieur

PS : on y apprend plus d'histoire que des maths.

Posté par
olive_68
re : Congruence 18-07-09 à 18:32

^^ Etonnant quand même ^^

Ben la lecture et moi :S (Déjà que je dois en lire 3 pour la rentré )

Posté par
infophile
re : Congruence 18-07-09 à 18:46

M'en parle pas

Posté par
MataHitienne
re : Congruence 18-07-09 à 18:48

Citation :
PS : on y apprend plus d'histoire que des maths.
Vi, mais c'est de l'histoire des maths

Ben il faut t'y mettre pour le plaisir on te forcera pas

Posté par
infophile
re : Congruence 18-07-09 à 19:04

Oui pour la culture c'est sympa mais il ne faut pas s'attendre à apprendre beaucoup de choses nouvelles côté maths.

Par contre pour lire les 3 oeuvres je vais devoir me forcer...

Posté par
olive_68
re : Congruence 18-07-09 à 19:12

Citation :
Par contre pour lire les 3 oeuvres je vais devoir me forcer...

Comment ça tu n'es pas content ?


Oui je sais bien MataHitienne ^^ Apprendre les maths ça m'interresse plus pour le moment ^^ peut-être qu'un jour ça viendra ..

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Congruence 19-07-09 à 16:52

Citation :
M'enfin les I sont eux-mêmes une retranscription non ?


Bien sûr, surtout que l'alphabet arabe n'utilise pas les voyelles En plus j'ai déjà rencontré au moins une dizaine d'orthographes différentes d'Al Khwarizmi. Ce qui compte c'est de se souvenir que c'est al-gorithme et non algo-rithme et cela permet de ne pas confondre avec rythme.

A propos de voyelles -et pour éviter trop de lecture à Olive- il y a une autre belle histoire, celle du sinus, qui à l'origine est une erreur de traduction, le mot JaiB signifiant corde ayant été pris pour le mot JiaB par les traducteurs latinistes. JiaB, lui, signifie poche, cavité ou encore narine et donc sinus.

La "sinusite" étant bien sûr la pathologie qui atteint ceux qui ne comprennent rien à la trigo

Posté par
infophile
re : Congruence 19-07-09 à 16:57

Ah ça je ne savais pas, c'est marrant ^^ merci minkus

Posté par
olive_68
re : Congruence 19-07-09 à 18:01

Ah ça parcontre je savais tu vois Eh même si ma mémoire ne trompe pas le mot qui avait été transformé était plutôt jîba en jaîb..
Ce mot voulait dire corde d'arc et jaîb correspondait à un pli ou quelque chose comme ça je ne me souviens plus exactement quelle traduction il donnait à ce mot..
Et pour finir,

Citation :
les traducteurs latinistes
\to Les traductueurs était plutôt le mec qui a pour nom de famille Crémone mais je me souviens plus de son prénom..C'était un prénom assez français je crois..

Parcontre aucune idée de l'endroit où j'ai pu lire cette chose ^^ donc je ne suis plus sûr de ce que j'avance

Posté par
sloreviv
re : Congruence 19-07-09 à 23:59

ah je comprends enfin cette homonymie... et j'ai demande jaïb et jiba ça semble etre ça ! je dormirai moins bete!

Posté par
olive_68
re : Congruence 20-07-09 à 00:03

Merci de confirmer

C'est quand même sympa cette histoire ^^

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Congruence 20-07-09 à 02:39

Citation :
Les traductueurs était plutôt le mec qui a pour nom de famille Crémone mais je me souviens plus de son prénom..C'était un prénom assez français je crois..


Robert, en effet et un autre dont le nom m'échappe. Ce que je voulais dire c'est qu'ils l'ont traduit en latin Et bien vu pour la correction de Jiba.

Posté par
olive_68
re : Congruence 20-07-09 à 02:41

Euh j'ai un peu fouiné avant sur le net pour être sur de ce que j'ai dis et il s'appelle gérard, mais après c'est possible qu'il y avait d'autres traducteurs aussi ^^

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Congruence 20-07-09 à 20:18

J'aurais du verifier moi aussi. C'est l'autre qui s'appelle Robert de Chester

Regarde la 3e ligne ici

Citation :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Robert_de_Chester
tu trouveras meme al kwarizmi

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Congruence 20-07-09 à 20:19

lien raté

Posté par
olive_68
re : Congruence 20-07-09 à 20:26

Merci



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