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Congruence?
Posté par Ineedhelp2
Bonsoir à tous,
Je suis élève de terminale S en spécialité maths. J'ai un exercice que je n'arrive définitivement pas à résoudre étant donné que nous venons à peine de commencer les congruences.
Voici le sujet : Montrer que 2^5 est congru à -1 modulo 11. Quels sont alors les restes de la division par 11 de 13^12 et (-2)^19?
J'ai déjà commencé à faire quelques recherches, mais cela n'aboutit strictement pas à la première demande de la consigne :
On recherche le reste de la division euclidienne de 2^5 par 11.
On effectue tout d'abord la division euclidienne de 2 par 11, alors le quotient est de 0 et le reste est 2. Donc 2 est congru à 2 (mod 11) donc 2^5 (signe de la congruence) 32
(signe de la congruence) 4 (mod7). Ainsi 2^6 (signe de la congruence) 64 (signe de la congruence) 1 (mod 7).
Ainsi je ne trouve pas -1 et je n'ai malheureusement, grâce à mon livre, que compris ce que je vous ai montré ci-dessus.
En espérant obtenir de votre aide.
Ineedhelp2
Oups merci d'avoir remarqué ! Autant pour moi mon ancien exo est resté dans ma tête décidément, effectivement je retrouve bien -1 si : 2^5 (signe de la congruence) 32 (signe de la congruence) -1 modulo 11 ! car 32 = 3*11 -1
salut
Montrer que 2^5 est congru à -1 modulo 11. Quels sont alors les restes de la division par 11 de 13^12 et (-2)^19?
2^5 = 32[11] or 32 = ...[11] que met tu sur les pointillés ?
ensuite pour les restes de la division par 11 de 13^12 penser au petit theoreme de fermat 1311-1= 1[11]
on attend sans doute très certainement de ne même pas utiliser ça mais de remarquer (il en avait parlé, donc je n'ai aucun scrupule à le ressortir) que 13 ≡ 2 [mod 11]
et on est ramené à l'usage des résultats de la question 1 ... (des puissances de 2) et de la simple utilisation des règles de calcul sur les puissances, congruences ou pas, le congruences ne servant qu'à simplifier ensuite.
salut
Citation :
On effectue tout d'abord la division euclidienne de 2 par 11, alors le quotient est de 0 et le reste est 2. Donc 2 est congru à 2 (mod 11)
tu es sérieux là ... ou tu veux nous faire rire ?On effectue tout d'abord la division euclidienne de 2 par 11, alors le quotient est de 0 et le reste est 2. Donc 2 est congru à 2 (mod 11)
je pense que c'était pour rire 
et même 
n'empêche que l'idée de réduire dès le départ modulo 11 est bien là ...
même si avec 2 ou toute valeur ≥0 et < 11 la "réduction" est ... inutile d'en parler.
bien sur Ineedhelp2 manque encore d'expérience pour comprendre que c'est un réflexe quasi pavlovien pour ce genre d'exercice ... et en a l'idée ...
mais peut-on avoir une autre idée que celle la ?
cela ne dispense pas de ne pas réfléchir à ce qu'on écrit pour ne pas écrire une telle trivialité ...
