On va faire les choses dans l'ordre.
Le titre est Congruence.
- Est-ce que tu as déjà entendu ce mot en cours ?
- Si oui, la première étape est de se remémorer tout ce que tu sais sur ce sujet.
Et donc, peux-tu rappeler ce que tu connais sur ce thème. Ecris les résultats de cours qui pourraient éventuellement intervenir dans cet exercice.
Ensuite, c'est comme un jeu de légo. Il va falloir assembler les choses connues pour arriver à la solution.

Oui je suis en maths expertes. Je vais relire toutes les propriétés et je reviens vers vous, je vous remercie.

Je pense qu'il va falloir se servir que la relation de congruence est compatible avec la somme, le produit et la soustractiond'où:

a+a'b+b' [n]
a*a'b*b' [n]
a-a'b-b' [n]

Est-ce qu'on doit transformer 47x+301y=701 sous la forme ab[n] ?

la relation de congruence est compatible avec la somme, le produit et la soustraction
Ok. Et effectivement, ça va nous servir.

Par contre, les 3 lignes que tu as ajoutées, il doit manquer des trucs.
Ecrit comme ça, ça ne veut rien dire.

On obtient ces équations avec

Si  a ≡ b [n] et a' ≡ b' [n] alors  ... les 3 résultats que tu donnais.
Ok.
Là, on nous dit au début que  47x+301y=701.
Et on veut au final montrer que 19y ≡ 43 [47].
Avec une phrase en français, aucun symbole mathématique, ça veut dire quoi 19y ≡ 43 [47] ?

On obtient 47k+43=19y ?

oui, si on veut ... mais c'est comme pour ton message de 23h19, il manque la moitié de la phrase.
Et je demandais des mots 'en français'.
19y ≡ 43 [47], ça veut dire que 19y-43 est un multiple de 47.
Ou encore :
Quand on divise 19y par 47, le reste de la division est 43.

Si on divise 47x+301y par 47, on obtient quoi ?  Et c'est surtout le reste qui nous intéresse.
Et si on divise 701 par 47, même question ?

Et il restera juste à conclure.

si on divise 47x+301y par 47 on obtient un reste de 43+282y+47x ?
Si on divise 701 par 47 on obtient un reste de 43 (701=47*14+43)

Si on divise 701 par 47 on obtient un reste de 43 (701=47*14+43)
Oui
Et bonne nouvelle, on tombe sur 43 ... c'est une des valeurs qu'on nous a 'parachute'.
Par contre, pour l'autre ligne, ça ne va pas du tout.
si on divise 47x+301y par 47 ... tu dis qu'on obtient 43+282y+47x .

Si j'essaie de décrypter comment tu trouves ça, je devine que tu as utiliser le 43 et le 19   de la question. Interdit !

Je relis la question ; Justifier que l'on a 19y  ≡ 43 [47]
Autrement dit : on te demande de calculer un truc équivalent à 19y, et on te dit même : à la fin de ton calcul, si tu ne te trompes pas, tu devrais trouver 43.
Si tu dis sans justification, 'je trouve 43', c'est de la triche, ça ne répond pas à la question.

Ici, l'idée de l'exercice, c'est de prendre les différents nombres qu'on nous propose, les 301y, les 701, et de regarder tous ces nombres, ce qu'ils donnent une fois qu'on les divise par 47  ( la question qui nous est posée, c'est : montrer que quand on divise 19y par 47, le reste le de la division est .... 43.  Donc dans cet exercice, on va prendre les différents nombres qu'on a, et on va les diviser par 47, et on va regarder les restes.

301 divisé par 47 , quel est le reste ?

47x + 301y = 701

le reste de la division de 47x par 47 est x
le reste de la division de 301y par 47 est 19y
le reste de la division de 701 par 47 es t 43

Mais je ne sais pas comment faire la rédaction

Pour continuer il faut que je trouver les 3 affirmations correctes :

le reste de la division de 47x par 47 est x

le reste de la division de 301y par 47 est 19y
(car 301y=(47*6+19)y)

le reste de la division de 701 par 47 es t 43 (car 701=47*14+43)

Je n'arrive pas à trouver laquelle est fausse

Je pense que c'est la première affirmation qui est fausse car les deux autres me paraissent cohérentes

Bonsoir, j'ai fait toutes les autres questions de l'exercice il me reste juste celle-ci

Oui, c'est bien la 1ère affirmation qui est fausse.
Quand on divise 47x par 47, le quotient est x, mais le reste est 0
Par exemple, si on remplace x par 100 , quand on divise 4700 par 47, le quotient est 100 (c.a.d. x ), et la division tombe juste, le reste est 0.

D'accord je vous remercie ! Je peux rédiger de cette manière ? :

"on cherche à savoir comment à partir de l'équation 47x+301y=701 on obtient 19y43[47]. Donc on cherche à montrer que le reste le de la division de 19y par 47,  est 43.  

-Déterminons les restes de chacunes des valeurs de l'équation lorsqu'on les divise par 47"

47x0[47] (car lorsqu'on divise 47x par 47, le quotient est x mais le reste est 0 )
301y19y[47]  (car 301y=(47*6+19)y)
70143[47] (car 701=47*14+43)

Ainsi, 19y-43 est bien un multiple de 47.

oui, c'est correct.

Je vous remercie infiniment !

Bonjour,
Maintenant que la démarche a abouti, j'en propose une un peu différente au niveau des calculs qui sont censés se faire sans calculatrice.
On veut démontrer que 47x + 301y = 701 implique 19y 43 [47].
Le départ est le même que déjà vu :
47x + 301y = 701 implique 301y 701.

On voudrait remplacer 301 par 19 et 701 par 43.
D'où l'idée de regarder si 301-19 et 701-43 sont des multiples de 47.
301-19 = 300-18 = 282 et 701-43 = 700-42 = 658.

Pour 282, un multiple de 7 qui se termine par 2 est 76.
On regarde donc ce que donne 476.
Sans calculatrice, c'est plus facile que diviser. On trouve 282.

On veut faire pareil avec 658.
658 > 4710. Et un multiple de 7 qui se termine par 8 est 74.
On regarde donc ce que donne 4714.
Bingo, on trouve 658.

Bon, finalement c'est un peu alambiqué

C'est peut-être alambiqué , mais c'est comme ça que j'ai fait !

En effet, si le prof demande : vous avez réellement trouvé tel résultat sans calculatrice ? il va vite découvrir l'arnaque, si arnaque il y a.

Quel élève sait poser une division au lycée ?