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Niveau terminale
congruence
Posté par Night13
Bonsoir,
Démontrer que pour tout n appartenant à n, 15n-3n est divisible par 2.
Si 15n-3n est divisible par 2, alors 15 et 0 sont congrus modulo 2.
Je devrais peut-être raisonner par disjonction des cas ?
Mais je ne vois pas trop comment me servir des congruences.
Merci.
Bonjour,
Citation :
Si 15n-3n est divisible par 2, alors 15 et 0 sont congrus modulo 2.
Pourquoi partir d'un "si" suivi de ce qui doit être la conclusion ?
Si 15n-3n est divisible par 2, alors 15 et 0 sont congrus modulo 2.
Et que vient faire ce "0" ensuite ???
La disjonction de cas n'est pas adaptée ici.
Pourquoi envisager différents cas pour les valeurs de n alors que la justification est presque immédiate sans parler de congruence.
15n est-il divisible par 2 ?
Et 3n ?
Avoir entendu parler de congruences ne doit pas te faire oublier ce que tu savais sur la parité d'un entier.
15n-3n est divisible par 2 signifie que le reste de la division euclidienne de 15n-3n par 2 est 0.
Pour 15n :
Si n est pair, alors 15^n est pair
Si n est impair, alors 15^n est impair
Pour 3n :
Si n est pair, alors 3n est pair
Si n est impair, alors 3n est impair
Bonjour, tu peux remarquer que , tu pourrais également raisonner par récurrence pour le démontrer, ou encore écrire que :
, puis dire que
donc que
Le produit de deux entiers impairs est un entier impair.
Soit on le sait avant d'arriver en terminale, soit on le démontre facilement avec des outils élémentaires.
15n et 3n sont donc impairs.
Si on tient vraiment à utiliser des congruences :
15 
1 [2]
3 1 [2]
Donc
15n 1n [2]
Idem pour 3n.
Faire la différence.
Remarque : les exposants peuvent être des entiers naturels distincts.
15p - 3q, ou aussi 15p + 3q sont pairs.