1 mod 3 ; donc ...
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Congruence
Posté par Rku
Bonjour,
J'ai un exercice de math expert et je n'arrive pas à certaines questions :
1) Justifier que 10^6 congru à 1 mod 7
réussi
2) a) Démontrer que, pour tout entier k >=1, 4^(k-1) congru à 1 mod3
réussi (par réccurence)
b) En déduire que, pour tout k 
*, 4^k congru à 4 mod 6
réussi (calcul avec les congruences)
c) Conclure que pour tout k *, 10^k congru à 4 mod 6.
Ici, je n'y arrive pas 
3) voir en pièce jointe je n'arrive pas à la recopier
2)b)
4^(k-1) congru à 1 mod 3
4^(k-1) = 3k + 1
4^(k) * 4^(-1) = 3k + 1
4^(k) * 1/4 = 3k + 1
4^(k) = 4(3k + 1)
4^(k) = 12k + 4
4^(k) = 2*(6k) + 4
4^(k) congru à 4 mod 6 ( je ne suis pas sur de l'avant dernière étape)
Merci d'avance
Attention, tu utilises la lettre k pour deux choses différentes.
En fait, j'avais commencé aussi avec k à droite.
Sinon, en arithmétique, on essaye de ne pas écrire de quotients.
Je rectifie :
Citation :
4^(k-1) congru à 1 mod 3
4^(k-1) = 3p + 1
4^(k-1) * 4 = 4 * (3p + 1)
4^k = 12p + 4
Il reste à faire apparaître 12p+4 sous la forme 6q+4.4^(k-1) congru à 1 mod 3
4^(k-1) = 3p + 1
4^(k-1) * 4 = 4 * (3p + 1)
4^k = 12p + 4
d'accord, je vous remercie grandement.
mais maintenant, comment faire pour la question 3 ?
merci d'avance
Bonjour,
3) On peut écrire avec les questions précédentes :
La première congruence mérite d'être prouvée.
Bonjour lake,
Merci d'avoir pris le relais.
Une coquille je crois : c'est modulo 7 et pas modulo 6.
Un coup de pouce supplémentaire pour Rku :
Attention à ne pas recommencer à utiliser la lettre k pour des variables différentes.
D'après 2)c), l'entier 10k est congru à 4 modulo 6.
Il existe donc un entier p tel que 10k = 6p + 4.
Bonjour Sylvieg,
Effectivement une coquille : il faut lire modulo 7 et pas 6.
Je reviens sur la première congruence :
En gros, si alors pour tout
entier naturel,
qui est facile à prouver.
Je ne sais pas du tout si cela fait partie d'un cours standard sur les congruences. 
Ah ! Merci, j'avais des doutes ...
Citation :
Merci d'avoir pris le relais.
Merci d'avoir pris le relais.
J'ajoute qu'en de telles circonstances, je ne prends jamais de précautions "oratoires" du genre "En l'absence de ..." et la suite.
Le cœur y est bien sûr
D'accord, j'ai tout compris, je vous remercie du fond du cœur.
C'est la toute première fois que j'utilise ce site internet et je suis surpris de la réactivité de l'aide que l'on peut obtenir !
Merci beaucoup, passez une bonne soirée.