bonjour,

n=a^7-a=a(a⁶-1)=a(a-1)(a+1)(a⁴+a²+1)

a; a-1; a+1 sont 3 entiers consecutifs donc un des 3 nombres est divisible par 3
donc n est divisible par 3

a; a-1 sont 2 entiers consecutifs donc un de ses 2 nombres est divisible par 2
donc n est divisible par 2

d apres le p'tit théoreme de Fermat, a^p-a est divisible par p si p est premier.
Or dans notre cas p=7 donc n est divisible par 7

n est divisible par 2 par 3 et par 7 donc n est divisible par 2*3*7=42, donc n est divisible par 42

merci beaucoup.
A+

de rien
a plus sur l'ile

Je crois qu'on peut se passer du p'tit théorème de Fermat:

Tout élément de Z s'écrit sous une forme suivante:

7k, 7k+1, 7k+2,7k +3, 7k-1,7k-2, 7k -3 c'est à dire congru à 0,1,2,3,-1,-2,-3 modulo 7

on s'en sort grâce à la factorisation de cqfd67 (un compatriote du Bas-Rhin? Salut Bisame!)

si a = 7k, a est congru à 0 donc n aussi

si a= 7k+1   (a-1) est congru à 0 donc n aussi

si a= 7k-1 (a+1) congru à 0 donc n aussi

si a= 7k+2 a est congru à 2 donc (a⁴+a²+1) est congru à (2⁴+2²+1) c'est à dire à 21 c'est à dire à 0

Faire le même calcul pour -2,3,-3

Donc n est toujours congru à 0 modulo 7, c'est à dire divisible par 7.

C'est plus long, mais demande moins de culture mathématique.

bonsoir jeanseb,

jolie demonstration, j aime bien
effectivement c est plus long mais cela reste dans la meme optique que pour montrer la divisibilité par 2 et par 3.

je devrais plutot etre a present cqfd68, car j ai ete muté dans le haut Rhin (mais je reste un compatriote tout de même)