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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Congruence de fonction
Posté par elsa33000
Bonjour, j'ai un exercice à réaliser mais je n'arrive pas à aboutir à grand chose. Voici l'énoncé :
Dans cette question p est un nombre premier, k ≥ 1 est un entier, f(X) ∈ Z[X] est un polynôme et xk est un entier. On suppose
f(xk) ≡ 0 mod p^k et f'(xk) /≡ 0 mod p ,
On souhaite construire un entier xk+1 vérifiant f(xk+1) ≡ 0 mod p^2k et xk+1 ≡ xk mod p^k
(a) Pour z ∈ Z fixé, on pose xk+1 = xk + p^k *z. Montrer que
f(xk+1) ≡ f(xk) + p^kf'(xk)z modp^2k
(b) Déduire qu'il existe une valeur de z ∈ Z telle que f(xk+1) ≡ 0 mod p^2k et xk+1 ≡ xk mod p^k
Pour a) j'ai essayé de décomposer mais ça ne m'aide pas vraiment
f(xk+1)=f(xk+p^k z)
Pour b) on a f(xk+1) congru à f(xk) + p^kf'(xk)z mod p^2k donc f(xk+1) = q*p^2k + f(xk)+ p^kf'(xk) z
avec q*p^2k congru à 0 mod p^2k
f(xk) congru à 0 d'après l'énoncé
Alors il existe un z tel que p^kf'(xk) soit aussi congru a 0 (je ne sais pas si il manque de la justification pour cette ligne)
Si vous aviez des idées pour m'aider parce que je bloque, merci d'avance !
salut
franchement c'est difficilement compréhensible sans indice ... d'autant plus en travaillant dans Z
en dessous de ce cadre d'écriture tu as l'icone X2 qui permet d'écrire xk + 1 en écrivant k + 1 entre les balises qui apparaissent quand tu cliques dessus ...
Dans cette question p est un nombre premier, k ≥ 1 est un entier, f(X) ∈ Z[X] est un polynôme et xk est un entier. On suppose
f(xk) ≡ 0 mod pk et f'(xk) /≡ 0 mod p ,
On souhaite construire un entier xk+1 vérifiant f(xk+1) ≡ 0 mod p2k et xk+1 ≡ xk mod p^k
(a) Pour z ∈ Z fixé, on pose xk+1 = xk + pk *z. Montrer que
f(xk+1) ≡ f(xk) + pkf'(xk)z mod p2k
(b) Déduire qu'il existe une valeur de z ∈ Z telle que f(xk+1) ≡ 0 mod p2k et xk+1 ≡ xk mod pk
Pour a) j'ai essayé de décomposer mais ça ne m'aide pas vraiment
f(xk+1)=f(xk+pk z)
Pour b) on a f(xk+1) congru à f(xk) + pkf'(xk)z mod p2k donc f(xk+1) = q*p2k + f(xk)+ pkf'(xk) z
avec q*p2k congru à 0 mod p2k
f(xk) congru à 0 d'après l'énoncé
Alors il existe un z tel que pkf'(xk)z soit aussi congru a 0 (je ne sais pas si il manque de la justification pour cette ligne)
Je vois pas du tout comment faire, c'était l'idée que j'avais mais je ne vois pas comment poursuivre
carpediem @ 13-11-2022 à 20:04
et alors = f(x_k + p^kz) = \red \sum_0^n a_i (x_k + p^k z)^i = ...)
et alors
maintenant n'oublie pas qu'on demande une égalité modulo p2k
donc en développant (avec le binome de Newton) tu ne garde que les termes qu'il faut et tu compares avec le résultat donné dans la question