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Congruence et coefficient binomial

Posté par
ardea 10-01-23 à 14:50

Bonjour,

J'ai dû mal avec une partie de la démonstration de mon cours concernant le lemme suivant :

Soient p un nombre premier et m un entier tels que p ne divise pas m. Alors on a \begin{pmatrix} mp^{r}\\ p^{r}\end{pmatrix} \equiv m \left[p \right].

J'abrège un peu la démo :

\begin{pmatrix} mp^{r}\\ p^{r}\end{pmatrix} = m\prod_{i=1}^{p^{r}-1}\frac{mp^{r}-i }{p^{r}-i}

En prenant s < r et l tel que p ne divise pas l, on peut poser i=p^{s}l.

On obtient : \begin{pmatrix} mp^{r}\\ p^{r}\end{pmatrix} = m\prod_{p^{s}l=1}^{p^{r}-1}\frac{mp^{r-s}-l }{p^{r-s}-l}

On obtient les congruences modulo p suivantes : mp^{r-s}-l\equiv -l, p^{r-s}-l\equiv -l et l n'est pas congru à 0 mod p.

On en déduit que les termes \frac{mp^{r-s}-l }{p^{r-s}-l} sont tous congrus à 1.

Je n'ai pas compris cette dernière phrase en gras.

Merci par avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Congruence et coefficient binomial 10-01-23 à 15:00

Bonjour

Si \ell\not\equiv 0 \pmod p, alors \ell est inversible dans (\Z/p\Z)^*, donc on peut "simplifier" par \ell dans les fractions au-dessus.

Posté par
ardeare : Congruence et coefficient binomial 10-01-23 à 15:54

Merci Camélia.

Je ne comprends pas comment tu simplifies par l

Posté par
Camélia Correcteurre : Congruence et coefficient binomial 10-01-23 à 16:22

Il existe k tel que k\ell\equiv 1 \pmod P.
Tu multiplies par k le numérateur et le dénominateur.

Posté par
lionel52re : Congruence et coefficient binomial 10-01-23 à 17:07

Hello ! Autre manière de faire. Dans Z/pZ on a :

(1 + X)^{p} = 1 + X^{p}

Donc par récurrence :
(1 + X)^{p^r} = 1 + X^{p^{r}}

Et donc :
(1 + X)^{mp^r} = (1 + X^{p^{r}})^m = 1 + mX^{p^r} + ...

Si on prend le coefficient de X^{p^r} des deux côtés on a l'égalité de l'énoncé

Posté par
ardeare : Congruence et coefficient binomial 11-01-23 à 15:37

Bonjour,

Merci lionel52 pour cette solution alternative.

Concernant l'idée de Camélia, désolé, j'ai beau chercher, je ne vois pas...

l est inversible donc il existe k tel que kl \equiv 1[p] , d'accord. Si je ne me trompe pas, il faudrait montrer que \frac{mp^{r-s}-l}{p^{r-s}-l} - 1 = \frac{kmp^{r-s} - kl}{kp^{r-s}-kl} - 1 est divisible par p, c'est assez facile de voir que le numérateur est divisible par p, pour le dénominateur, je ne vois pas...

Posté par
Camélia Correcteurre : Congruence et coefficient binomial 11-01-23 à 15:57

Tu as déjà mp^{r-s}-l\equiv -l d'où kmp^{r-s}-kl\equiv -kl et donc kmp^{r-s}-1\equiv -1
De même p^{r-s}-1\equiv -1

Posté par
Camélia Correcteurre : Congruence et coefficient binomial 11-01-23 à 15:58

PS; la solution de lionel52 est peut-être plus compréhensible.

Posté par
ardeare : Congruence et coefficient binomial 11-01-23 à 17:25

J'ai bien compris la solution de lionel52.

Cependant, j'aime bien essayer de comprendre ce qui m'échappe

J'ai bien compris ce que tu as écris Camélia, mais je ne vois pas ce que cela implique.
C'est peut-être le fait qu'il y ait un quotient qui me perturbe


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