Bonjour, j'ai fais cet exercice ,mais étant donné que je ne maitrise pas à 100% la congruence, quelqu'un pourrait-il corrigé mes erreurs svp?

Voici l'énoncé:

1/ On choisit ici un entier n pair, et non nul, et on note p un nombre premier qui divise n² + 1. a. Montrer que n²+1 est impair, et qu'on peut ´écrire p sous la forme p = 4k+1 ou p =4k+3 pour un entier k.

b. Montrer que p et n sont premiers entre eux, puis les congruences n² ≡ −1 mod p et n^4 ≡ 1 mod p.

c. Montrer qu'on a n^p−1 ≡ 1 mod p.

d. On suppose que p = 4k +3 pour un certain entier k; déduire des questions précédentes une contradiction.

e. Que peut-on en déduire pour les diviseurs d'un entier de la forme n² + 1, n pair?

2/ On suppose ici qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers p de la forme 4k +1, qu'on note p1,...,pr.

a. On pose n = 2p1···pr, et N = n² +1. Soit p un diviseur de N ; que peut-on dire de p?

b. En déduire une contradiction, et le résultat.

3/ Rappeler une démonstration similaire, qui prouve qu'il existe une infinité de nombres premiers.

Mes réponses :  

1 )a)  Si n est pair et non nul, alors  n>= 2 .

n² est pair aussi, et par conséquent n²+1 est impair.

Un nombre pair est de la forme n=2k, k étant un entier relatif.

un nombre impaire est de la forme n=2k+1.

Ensuite ,puisque que p|n²+1 => p|4k²+1 .

Enfin de toute ces information nous pouvons conclure que p est un nombre premier impaire, et que p est différent de 3.

En effet si n= 2 ; n²+1 =2²+1 =5, donc p =5 (au minimum).

Or 5 congru à 1 mod 4

Donc de manière général p≡1 mod 4.

p-1  = 4k

p= 4k+1

pour p= 4k+3 je sais juste  que p ≡ 3 mod 4.

Selon moi,(pas sur),de  manière général pour les congruences modulo 6 par exemple p= 6k+1 ; ou 6k+3 ou 6k+5.

Pour les congruence modulo 8 , p= 8k+1; 8k+3 ; 8k+5 ; 8k+7.

b) n et p sont premier entre eux ssi leur pgcd vaut 1.

n et p premier entre eux ssi il existe un couple d'entier relatif (u,v)
tel que nu+pv= 1.

Ce couple c'est le couple (u,v) = (3,-1)  en effet si n =2 et p = 5, 3*2-5=1.

Ensuite puisque p divise n²+1, n²+1 =kp
donc n² ≡ -1 mod p.
de même (n²)²≡ (-1)² mod p.
n^4 ≡ 1 mod p.
De manière général p étant un nombre impaire n^p-1 ≡ 1 mod p.