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Posté par polpol07
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour cet exercice :
Le but de cet exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier 4^n -1 où n est un entier naturel.
On donne la propriété connue sous le nom de "théorème de Fermat" :
Si p est un entier naturel premier et si p divise a, alors a^(n-1) est congru à 1[p].
( Définition : un entier naturel est premier s'il a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même).
Divisibilité par un nombre premier :
Soit p un nombre premier différent de 2.
1)Démontrer qu'il existe un plus petit entier b supérieur ou égal à 1 tel que 4^b est congru à 1[p].
2)Soit n supérieur ou égal à 1, un entier naturel tel que 4^nest congru à 1[p]. On note r le reste de la division euclidienne de n par b.
a) Démontrer que 4^n est congru à 1[p]. En déduire que r =0.
b)Prouver l'équivalence : 4^n -1 est divisible par p si et seulement si n est un multiple de b.
c)En déduire que b divise p-1.
Merci à vous.
Bonjour,
Peux-tu vérifier l'énoncé du théorème de Fermat donné dans cet énoncé ?
Il me semble que tu l'as mal recopié.
Et si tu relisais tout l'énoncé ?
Au 2):
Citation :
Soit n supérieur ou égal à 1, un entier naturel tel que 4^nest congru à 1[p]
PuisSoit n supérieur ou égal à 1, un entier naturel tel que 4^nest congru à 1[p]
Citation :
a) Démontrer que 4^n est congru à 1[p]
a) Démontrer que 4^n est congru à 1[p]
Cela ne suffit pas, en effet pour p=3, b=1, le petit théorème de Fermat ne trouve pas le plus petit b
J ai trouvé b=p-1 avec le petit théorème de Fermat.
Mais comment prouver que l on a le plus petit b ???
Merci à vous.
Tu ne trouves pas b = p-1.
Tu trouves ceci : 4p-1 
1 [p].
Ce n'est pas la même chose. Je note (F) cette congruence.
La question 1) n'est pas facile. Je te donnerai une piste.
Mais auparavant je voudrais deux choses :
Que tu écrives correctement le petit théorème de Fermat. Tu l'avais recopié avec 2 erreurs, et tu n'en as corrigée qu'une.
Que tu vois que (F) permet de traiter 2)c).
J avais corrigé le théorème de Fermat, mais je l écris en entier :
Si p est un entier naturel premier et si p ne divise pas a, alors a exposant ( p-1) est congru à 1 modulo p.
Tu avais écrit ceci :
Citation :
Si p est un entier naturel premier et si p divise a, alors a^(n-1) est congru à 1[p].
Si p est un entier naturel premier et si p divise a, alors a^(n-1) est congru à 1[p].
Pour justifier (F), il faut justifier qu'on est bien dans les conditions du théorème : p est un entier naturel premier et p ne divise pas a.
Vas-y.
On sait que b supérieur ou égal à 1 et p premier différent de 2.
Donc p supérieur à 2 ou p supérieur ou égal à 3. Donc p impair.
Donc p premier avec 4.
D après le petit théorème de Fermat :
4 exposant ( p-1) est congru à 1 modulo p.
D'accord.
As-tu vu en cours une propriété sur les plus petits éléments dans 
?
On peut s'en passer, mais ce serait plus simple.
Utilise l'ensemble A de tous les k entiers qui vérifient
1 
k p-1 et
4k
1 [p] .
L'entier p-1 est un élément de A.
C'est peut-être le seul, ou pas.
Parmi les éléments de A, il y en a un qui est le plus petit.
Je ne sais pas quelles sont les exigences en terminale.
As-tu entendu parler du cardinal d'un ensemble ?
De rien.
La prochaine fois, vérifie bien ta recopie de l'énoncé.
Je pense que le a) du 2) contenait la 1ère ligne :
Citation :
2)a)Soit n supérieur ou égal à 1, un entier naturel tel que 4^n est congru à 1[p]. On note r le reste de la division euclidienne de n par b.
Démontrer que 4^r est congru à 1[p]. En déduire que r =0.
b)Prouver l'équivalence : 4^n -1 est divisible par p si et seulement si n est un multiple de b.
2)a)Soit n supérieur ou égal à 1, un entier naturel tel que 4^n est congru à 1[p]. On note r le reste de la division euclidienne de n par b.
Démontrer que 4^r est congru à 1[p]. En déduire que r =0.
Bonjour,
Je pensais y arriver au 2 b) mais je n y parviens pas. Pourriez-vous m aider ?
Cordialement.
Deux remarques d'abord :
Cette question ne sert pas pour 2)c).
Cette question ne doit pas tenir compte de ceci qui est au début du 2) :
Citation :
Soit n supérieur ou égal à 1, un entier naturel tel que 4^n est congru à 1[p].
Ensuite :
Soit n supérieur ou égal à 1, un entier naturel tel que 4^n est congru à 1[p].
Au 2)a, tu as démontré que
si n supérieur ou égal à 1 et 4^n est congru à 1[p] alors n est un multiple de b.
Donc si 4n-1 est divisible pas p alors n est un multiple de b.
Il reste à démontrer la réciproque.
Mais as tu bien démontré le 2)a) et compris qu'on en déduisait
si n supérieur ou égal à 1 et 4^n est congru à 1[p] alors n est un multiple de b.
Merci pour votre réponse. Oui, j ai bien démontré le 2a) et le 2b dans un sens ( implique) et je n arrive pas à démontrer la réciproque.
Pourriez-vous me dire comment faire car je dois le rendre cet après midi...
Merci à vous.
On sait que 4b 1 [p]
Si n est un multiple de b, on a n = qb avec q entier.
Tu peux en déduire que 4n 1 [p].