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congruences avec (2^n)-1
Bonjour à tous. Voilà, je suis en terminale S spé maths et j'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exercice de mon dm.
L'énoncé veut que l'on détermine tous les entiers n de IN tels que (2^n)-1 soit un multiple de 17.
1) Vérifier que 2^8 congru 1 (mod17). En déduire que si n=8k, (2^n)-1 est multiple de 17.
2)n=8k+r avec r compris entre 0 au sens large et 8 au sens stricte.
a)Démontrer que 2^r congru 5^n (mod17)
b)En déduire tous les entiers n cherchés.
Pour la première question, c'est assez simple, tout comme le résonnement pour la démonstration que l'on peut faire par récurrence ou simplement avec les congruences. Cependant, pour la question 2)b), je suis bloqué. J'ai essayé de faire une disjonction des cas de 0 à 7, mais je ne me retrouve que avec des entiers n=8k et pour les autres cas je n'arrive pas à les exploiter.
Merci de votre aide.
Salut, oui, j'ai fait une erreur de frappe, c'est 2^r congru à 2^n (mod17). Pour le prouver j'ai fait une démonstration ;
2^(8k+r)=2^(8k)*2^r
2^(8k) congru 1 (mod 17)
2^(8k)*2^r congru 2^r (mod 17)
2^r congru 2^n (mod 17)
Donc les entiers ne peuvent être que de la forme 8k ? Je n'ai pas compris comment la démonstration peut nous aider à résoudre le problème.
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