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Niveau terminale
Congruences, chiffrement de Hill
Posté par td1711
Bonjour, j'ai un sujet de Maths expertes sur le chiffrement de Hill et les congruences.
Je suis bloqué à une question où on me demande ; "Montrer que tout couple (x,y) vérifiant la relation (S1), vérifie les équations du système (S2) { 17x 
7x' + 21y' (26) , 17y 22x' + 9y' (26)
Sachant que (S1) { 9x + 5yx' (26) , 4x+7y y' (26)
Juste avant on a montré que 43m1 (26) si m = 23 et que 17m 1 (26) si m = 23
Le sujet est assez grand je ne pouvais pas tout recopier, je ne sais pas si il faut plus d'informations. Merci
Bonjour,
Dans un premier temps, en partant de , tu multiplies la première équation par
et la seconde par
Tu additionnes le tout membre à membre et tu regardes.
Après addition j'obtiens 43x 7x' - 5y' (26) et donc c'est égal à 17x 7x' - 5y'. Je constate que ça ressemble à la première équation de S2 sauf pour les y', que puis-je faire après ?
Tu travailles modulo 26.
Avec tes résultats intermédiaires :
Citation :
17m1 (26) si m = 23
,
17m
1 (26) si m = 23
je pense qu'il est judicieux de multiplier l'équation obtenue par 23.
il faudra ramener tous les coefficients à des nombres compris entre 0 et 25 (toujours modulo 26).
Maintenant, il faut refaire la même manip en éliminant :
tu multiplies la première équation de par -4 et la seconde par 9.
tu additionnes membre à membre ...
Oui j'ai bien un message à décrypter mais avant il y'a deux autres questions:
- En déduire que tout couple (x;y) vérifiant le système (S1) vérifie les équations du système ( S3) { x 5x' + 15y' (26), y 12x' + 25y'(26)
( Je constate qu'on est passé par ces équations pour la question précédente )
- Montrer alors que, réciproquement, tout couple (x;y) vérifiant la relation (S3) vérifie aussi le système (S1)
Pas très drôle mais là, il faut recommencer en partant de pour obtenir
.
Exactement de la même manière.
Le message à décrypter ? 
Juste pour la question "En déduire que tout couple (x;y) vérifiant le système (S1) vérifie les équations du système (S3)", je ne comprends pas ce que je peux faire, on l'a déjà montré non ?
Excusez-moi, finalement j'ai encore un peu de mal avec la dernière question où il faut montrer que réciproquement tout couple (x;y) vérifiant la relation (S3) vérifie aussi le système (S1)
Je suis parti de S3 où j'ai multiplié par -25 en haut et 15 en bas et je me retrouve avec l'équation 15y - 25x 3x' (26)
Ah je crois avoir réussi. J'ai cherché m pour que 3m 1 (26) et j'ai trouvé 9. Après avoir multiplié par 9 je retombe sur la première équation de S1.
Tu pars de :
tu multiplies la première équation par -25 et la seconde par 15.
tu additionnes membre à membre (les y "sautent").
éventuellement tu ramènes les coefficients à des nombres plus raisonnables modulo 26 pour obtenir :
là, il faut "remarquer" que
On multiplie donc par 9 :
or il se trouve que
Vois-tu ? 
Juste un petit commentaire : tu es jeune et tu comprends vite.
Côté maths, tu as un bel avenir.
Après, c'est toi qui choisis.
Passe une bonne soirée.