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congruences et intervalles semi-ouvert

Posté par
sgu35
09-05-21 à 09:30

Bonjour,
je cherche à montrer que :
si I désigne un intervalle semi-ouvert de longueur m\in R, comme par exemple [0,m[ ou     ]-m/2,m/2], alors pour tout réel x il existe un unique réel r \in I tel que x est congru à r modulo m.

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 09-05-21 à 10:22

Bonjour,

Quand tu écris du code TeX, mets-le entre balises si tu veux que ça fasse effet.

À part cela, qu'as-tu essayé ? As-tu pensé à u truc du genre "le plus petit entier n\in \Z tel que ..."

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 09-05-21 à 11:19

Voilà la propriété utilisant du code latex :
si I désigne un intervalle semi-ouvert de longueur m\in R, comme par exemple [0,m[ ou     ]-m/2,m/2], alors pour tout réel x il existe un unique réel r \in I tel que x\equiv r \pmod m

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 09-05-21 à 11:21

As-tu pensé à un truc du genre "le plus petit entier n\in \Z tel que ..."
Là je ne vois pas du tout où tu veux en venir... qu'est-ce que n?

Posté par
carpediem
re : congruences et intervalles semi-ouvert 09-05-21 à 13:08

salut

GBZM te dit proprement qui est n ...

quelle est la distance entre les nombres nm et (n + 1)m ?

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 10-05-21 à 03:47

La distance entre nm et (n+1)m vaut m. Mais je ne vois pas où cela nous mène...

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 10-05-21 à 07:24

Si tu veux un nombre congru à x modulo m dans l'intervalle [0,m[, c'est que tu cherches un entier n\in \Z tel que  0\leq x+nm <m.
Tu peux caractériser n comme le plus petit entier tel que ... ou, ce qui revient au même, comme la partie entière de ...

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 25-05-21 à 09:58

Désolé, je ne vois pas où tu veux en venir...
J'essaie une démonstration : entre 0 et m il y a m valeurs, on arrivera toujours à trouver un entier relatif n tel que 0<=x+nm<m. Par contre, n ne doit pas être la partie entière d'un autre nombre... Par exemple si x=20, m=10, le nombre n vérifiant les inégalités ci-dessus sera -2 : en effet,  0<=20+(-2)*10=0<10.

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 26-05-21 à 14:44

sgu35 @ 25-05-2021 à 09:58

Par contre, n ne doit pas être la partie entière d'un autre nombre... Par exemple si x=20, m=10, le nombre n vérifiant les inégalités ci-dessus sera -2 : en effet,  0<=20+(-2)*10=0<10.


Tu as raison, c'est -n qui est la partie entière de \dfrac{20}{10}.
N.B. la partie entière d'un nombre négatif est un entier négatif.

D'un autre côté, ta phrase "entre 0 et m il y a m valeurs, on arrivera toujours à trouver un entier relatif n tel que 0<=x+nm<m" ne me convainc absolument pas.

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 08:38

Alors je ne vois pas du tout comment montrer cette propriété...

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 08:49

Voyons...
On cherche un entier n tel que 0\leq x+nm < m, ce qui équivaut à -nm \leq x < -nm+m, ce qui équivaut (puisque m>0) à -n\leq \dfrac{x}{m} < -n+1 ...

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 09:38

x \equiv r \pmod m signifie qu'il existe n tel que x-r=nm, autrement dit que x-nm=r, qui est lui même compris entre 0 et m  : 0<=r<m, d'où 0<=x-nm<m
autrement dit : nm<=x<(n+1)m.
de là il vient :  n<=x/m<n+1 car m>0.
d'où n est la partie entière de x/m donc est unique.
Ma démonstration est-elle correcte?

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 09:41

Je conclue en disant que si n est unique, alors pour tout entier x, x-nm est unique.

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 12:06

x n'est pas un entier.
Tu as finalement repris ce que je te disais (avec le changement de n en -n, ce qui est plus commode).

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 14:36

Bah je ne sais pas si les congruences agissent sur des réels non entiers...

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 14:40

Effectivement  dans mon bouquin, ils disent que m est un réel strictement positif, et x un réel (pas forcément positif).

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 15:13

Définition : deux réels x et y sont congrus modulo le réel m si et seulement si x-y appartient à m\Z.
C'est bien dans ce sens qu'on parle de la mesure des angles (qui n'a aucune raison d'être entière) modulo 2\pi (qui n'est certainement pas entier).

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 18:33

Ok je comprend, mais est-ce que ma démo est correcte en prenant x réel et m réel strictement positif?

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 28-05-21 à 21:10

Puisque c'est celle que j'avais écrite, avec un changement cosmétique,  je pense qu'elle est correcte. Mais la question est : en es-tu persuadé, comprends-tu bien la démonstration ?

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 29-05-21 à 07:16

Pas tout à fait :
x \equiv r \pmod m signifie qu'il existe un entier n tel que x-r=nm, autrement dit que x-nm=r, qui est lui même compris entre 0 et m (pourquoi?) :  0\le r<m d'où 0\le x-nm<m
autrement dit : nm\le x<(n+1)m.
de là il vient :  n\le x/m<n+1 car m>0.
d'où n est la partie entière de x/m donc est unique.

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 29-05-21 à 09:33

As-tu oublié ce que tu cherches ? Je te cite

Citation :
il existe un unique réel r \in I tel que x est congru à r modulo m

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 29-05-21 à 10:34

Désolé, je ne vois pas pourquoi on suppose ce qu'on attend (ie que r \in I).

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 29-05-21 à 19:24

Tu devrais peut-être te renseigner sur le raisonnement par analyse-synthèse ?
On suppose qu'il existe un r de la forme x-nm dans [0,m[. On en déduit que nécessairement n est la partie entière de x/m. C'est la partie "analyse" du raisonnement,  et ça montre déjà l'unicité.
La partie "synthèse"  est juste de vérifier que si  n est la partie entière de x/m, alors x-nm est bien dans [0,m[.
On peut aussi faire les deux parties d'un seul coup en raisonnant par équivalences.

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 01-06-21 à 07:37

Ok mais maintenant si notre intervalle est ]-m/2;m/2], comment raisonner?

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 01-06-21 à 09:30

Bonjour,

Fais preuve d'un peu d'initiative et essaie de te débrouiller avec

\large -m/2 < x-nm\leq m/2

pour trouver que n doit être la partie entière de ... ou l'opposé de la partie entière de ...

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 01-06-21 à 10:11

J'aboutis à n>-x/m-1/2 \ge n-1,
ce qui voudrais dire que n-1 est la partie entière de -x/m-1/2.

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 01-06-21 à 11:12

Tu t'es un peu fichu dedans. Vérifie ton calcul.

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 01-06-21 à 11:23

Non, j'ai juste, j'ai juste changé x-nm en x+nm.

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 01-06-21 à 11:35

OK, si tu changes n en -n sans prévenir ...

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 09:13

si on considère x-nm  \in ]-m/2,m/2], on aboutit à -n+1>-x/m+1/2\ge -n, d'où  - n =E(-x/m+1/2), soit n= - E(-x/m+1/2).

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 17:43

Je reposte une chose :

Citation :
As-tu pensé à un truc du genre "le plus petit entier n\in \Z tel que ..."

Je n'ai toujours pas compris cette histoire du plus petit entier n \in\Z tel que?

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 18:11

Puisqu'il faut enfoncer les portes ouvertes :

le plus petit entier n tel que  0\leq x+nm ...

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 18:15

Du coup, on n'a pas besoin de la deuxième inégalité <m?

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 18:18

Je te laisse y réfléchir.

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 18:32

On en a besoin si on veut prouver que x+nm est bien dans [0;m[ (partie synthèse de la démonstration)

Posté par
sgu35
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 19:20

J'ai trouvé : si n est le plus petit entier relatif tel que 0 \le x+nm, on a n-1 qui vérifie : x+(n-1)m<0, ce qui donne x+nm<m.

Posté par
GBZM
re : congruences et intervalles semi-ouvert 14-06-21 à 19:34

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