Bonjour,

Quand tu écris du code TeX, mets-le entre balises si tu veux que ça fasse effet.

À part cela, qu'as-tu essayé ? As-tu pensé à u truc du genre "le plus petit entier tel que ..."

Voilà la propriété utilisant du code latex :
si désigne un intervalle semi-ouvert de longueur , comme par exemple ou     , alors pour tout réel il existe un unique réel tel que

As-tu pensé à un truc du genre "le plus petit entier tel que ..."
Là je ne vois pas du tout où tu veux en venir... qu'est-ce que n?

salut

GBZM te dit proprement qui est n ...

quelle est la distance entre les nombres nm et (n + 1)m ?

La distance entre nm et (n+1)m vaut m. Mais je ne vois pas où cela nous mène...

Si tu veux un nombre congru à modulo dans l'intervalle , c'est que tu cherches un entier tel que  .
Tu peux caractériser comme le plus petit entier tel que ... ou, ce qui revient au même, comme la partie entière de ...

Désolé, je ne vois pas où tu veux en venir...
J'essaie une démonstration : entre 0 et m il y a m valeurs, on arrivera toujours à trouver un entier relatif n tel que 0<=x+nm<m. Par contre, n ne doit pas être la partie entière d'un autre nombre... Par exemple si x=20, m=10, le nombre n vérifiant les inégalités ci-dessus sera -2 : en effet,  0<=20+(-2)*10=0<10.

Alors je ne vois pas du tout comment montrer cette propriété...

Voyons...
On cherche un entier tel que , ce qui équivaut à , ce qui équivaut (puisque ) à ...

signifie qu'il existe n tel que x-r=nm, autrement dit que x-nm=r, qui est lui même compris entre 0 et m  : 0<=r<m, d'où 0<=x-nm<m
autrement dit : nm<=x<(n+1)m.
de là il vient :  n<=x/m<n+1 car m>0.
d'où n est la partie entière de x/m donc est unique.
Ma démonstration est-elle correcte?

Je conclue en disant que si n est unique, alors pour tout entier x, x-nm est unique.

x n'est pas un entier.
Tu as finalement repris ce que je te disais (avec le changement de n en -n, ce qui est plus commode).

Bah je ne sais pas si les congruences agissent sur des réels non entiers...

Effectivement  dans mon bouquin, ils disent que m est un réel strictement positif, et x un réel (pas forcément positif).

Définition : deux réels et sont congrus modulo le réel si et seulement si appartient à .
C'est bien dans ce sens qu'on parle de la mesure des angles (qui n'a aucune raison d'être entière) modulo (qui n'est certainement pas entier).

Ok je comprend, mais est-ce que ma démo est correcte en prenant x réel et m réel strictement positif?

Puisque c'est celle que j'avais écrite, avec un changement cosmétique,  je pense qu'elle est correcte. Mais la question est : en es-tu persuadé, comprends-tu bien la démonstration ?

Pas tout à fait :
signifie qu'il existe un entier n tel que , autrement dit que , qui est lui même compris entre 0 et m (pourquoi?) : d'où
autrement dit : .
de là il vient :   car .
d'où n est la partie entière de donc est unique.

As-tu oublié ce que tu cherches ? Je te cite

Désolé, je ne vois pas pourquoi on suppose ce qu'on attend (ie que ).

Tu devrais peut-être te renseigner sur le raisonnement par analyse-synthèse ?
On suppose qu'il existe un de la forme dans . On en déduit que nécessairement est la partie entière de . C'est la partie "analyse" du raisonnement,  et ça montre déjà l'unicité.
La partie "synthèse"  est juste de vérifier que si   est la partie entière de , alors est bien dans .
On peut aussi faire les deux parties d'un seul coup en raisonnant par équivalences.

Ok mais maintenant si notre intervalle est ]-m/2;m/2], comment raisonner?

Bonjour,

Fais preuve d'un peu d'initiative et essaie de te débrouiller avec



pour trouver que n doit être la partie entière de ... ou l'opposé de la partie entière de ...

J'aboutis à ,
ce qui voudrais dire que n-1 est la partie entière de -x/m-1/2.

Tu t'es un peu fichu dedans. Vérifie ton calcul.

Non, j'ai juste, j'ai juste changé x-nm en x+nm.

OK, si tu changes n en -n sans prévenir ...

si on considère , on aboutit à , d'où  - n =E(-x/m+1/2), soit n= - E(-x/m+1/2).

Je reposte une chose :

Puisqu'il faut enfoncer les portes ouvertes :

le plus petit entier tel que   ...

Du coup, on n'a pas besoin de la deuxième inégalité <m?

Je te laisse y réfléchir.

On en a besoin si on veut prouver que x+nm est bien dans [0;m[ (partie synthèse de la démonstration)

J'ai trouvé : si n est le plus petit entier relatif tel que , on a n-1 qui vérifie : , ce qui donne .

Ben voila !