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Posté par CapitainePois
Bonjour à tous!
J'ai un exercice à faire mais je bloque à une certaine question.
La question est:
Soit n un entier relatif tel que:
Et
Et soit un tel que:
Et
On peut donc en déduire par le théorème de Gauss que
On pose également
Montrer que n peut s'écrire sous la forme où k est un entier relatif.
Voilà ma réponse:
On sait que donc
On sait que n0 peut valoir 213
Donc:
Soit:
On peut donc l'écrire sous la forme
Or, maintenant que cela est prouvé, je me demande s'il faut faire la réciproque, et je me demande également si la réciproque est correcte:
Réciproquement,
n peut s'écrire sous la forme avec q=10k et r=9
Donc
n peut s'écrire sous la forme avec q=136k et r=3
Donc
Je me demande donc si cette réciproque est nécessaire, et surtout si elle est correcte!
Merci d'avance pour vos réponses! 
salut
il serait préférable de donner un énoncé exact et complet car on ne comprend pas trop ce qui est demandé réellement
quelles sont exactement les questions ?
Salut!
Alors voilà comme convenu tout l'énoncé, et mes réponses pour voir comment j'en suis arrivé là:
Thomas dispose d'entre 300 et 400 jetons. S'il fait des paquets de 17 jetons, il lui en reste 9. Si il fait des paquets de 5 jetons, il lui en reste 3.
1) Demontrer que trouver le nombre de jetons de Thomas revient à les éléments de l'ensemble E compris entre 300 et 400, vérifiant le système
- Ici, on sait que si Thomas fait des paquets de 17 jetons, il lui en reste 9.
Il faut donc chercher les n compris entre 300 et 400 congru à 9 mod 17
- on sait que si Thomas fait des paquets de 5 jetons, il lui en reste 3.
Il faut donc chercher les n compris entre 300 et 400 congru à 3 mod 5
On désigne par (u; v) un couple d'entiers relatifs tels que 17u + 5v = 1.
a) Justifier l'existence d'un tel couple.
- 17 et 5 étant premiers entre-eux, alors un tel couple existe d'après le théorème de Bézout !
b) On pose
Démontrer que no appartient a l'ensemble vérifiant l'ensemble des nombres .
n0 s'écrit sous la forme n0=5q+r où r= 3 et q=6v
donc n0 est congru à 3 mod 5
n0 s'écrit sous la forme n0=17q+r où r= 9 et q=-6u
donc n0 est congru à 9 mod 17
Cependant, faut-il ici aussi une réciproque??
c) Donner un exemple d'entier no appartenant à E.
On effectue l'algortihme d'Euclide :
On le remonte :
On trouve u=-2 et v=7, soit
3) a) Soit n un entier relatif appartenant a E.
Démontrer que ].
- on sait que n appartient à E, donc
et :
Donc on soustrait et on a :
et
Donc pareil :
5 et 17 divisent tous deux n-n₀ et sont premiers entre-eux donc d'après le théorème de Gauss, 5*17=85 divise n-n0 ce qui donne :
b) En déduire qu'un entier relatif n appartient à S si et seulement si n peut s'écrire sous la forme :
n = 43 + 85k où k est un entier relatif
- Voilà la question qui me pose plus ou moins problème, et à laquelle j'ai cherché à répondre précédemment.
4) Déterminer le nombre de jetons de Thomas
On a :
Donc par tatonnement à la calculatrice, on trouve k=3 et donc le nombre de jetons est de
Voilà (désolé de ma réponse un peu lente, je me battais avec toutes les bornes LaTex)
CapitainePois @ 01-02-2023 à 15:13
b) En déduire qu'un entier relatif n appartient à E si et seulement si n peut s'écrire sous la forme :
n = 43 + 85k où k est un entier relatif (et non S)
b) En déduire qu'un entier relatif n appartient à E si et seulement si n peut s'écrire sous la forme :
n = 43 + 85k où k est un entier relatif (et non S)
Citation :
Cependant, faut-il ici aussi une réciproque??
non on te demande simplement de vérifier que n_0 est solution du système
Cependant, faut-il ici aussi une réciproque??
la réciproque est demandée en 3b/
4/ a-t-on 300 <= 298 <= 400 ?
300 < 43 + 85k < 400 se résout à la main et pas à la calculatrice !!
(inéquation du premier degré à une inconnue !!)
Re!
Effectivement… Je suis toujours en difficulté face à des choses simples…
Pour la 3b, la réciproque énoncée dans mon tout premier message est elle correcte?
Enfin, pour la 4)
Le seul k compris entre 257/85 et 357/85=21/5 est k=4
Ainsi, Thomas a 43+85*4=383 jetons!
Voila! Juste possible de me confirmer si ma réciproque est correcte 
Merci beaucoup!