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congruences, somme, cosinus

Posté par
pierrette 16-09-06 à 20:24

Bonjour à tous

J'ai un problème concernant un exercice, pourriez-vous m'aider svp?

On considère x tel que cos(x)0 et n tel que n2. On pose:

Sn= [cos(kx)]/[cosk(x)] , k allant de 0 à n

1)Déteminer la valeur de Sn si x est congru à 0 modulo .
2)Déterminer la valeur de Sn si x n'est pas congru à 0 modulo .

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 20:36

Bonsoir pierrette

Remarque que \Large{S_{n}} est la partie réelle de la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique.

Kaiser

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 20:38

... quelle suite géométrique?
Je ne vois pas de suite géométrique de la forme (q)n, de raison q

Peux-tu m'aider svp?

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 20:39

de la forme (q)n, désole, peuvez-vous encore m'aider svp?

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 20:42

Indication : cos(kx) est la partie réelle de ... ?

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 20:46

ok, merci, c'est la partie réelle de eikx, merci encore

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 20:49

OK !
Donc \Large{S_{n}} est la partie réelle d'une somme facile à calculer.

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 20:51

oui oui, j'ai compris, merci

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 21:12

Au temps pour moi, je croyais que tu avais encore besoin d'aide !

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 21:16

pads grave, ne t'en fais pas

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 21:21

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 21:27

J'ai un gros problème, je me retrouve avec des sin(x) au dénominateur, or, dans la première question, on envisage en fait le cas ou x=0+k.
Est-ce normal?

Pourriez-vous m'aider svp?

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 21:31

En fait, le coup de la suite géométrique, il faut plutôt l'utiliser pour la deuxième question.
Pour la première question, tu peux calculer explcitement le kème terme de la somme.

Kaiser

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 23:34

ok, j'ai trouvé que le dernier terme était 1 pour la première question, mais cela m'amène à quoi?

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 16-09-06 à 23:59

Dans la question 1), on suppose qu'il existe un entier p tel que \Large{x=p\pi}.
pour tout entier k, \Large{\cos(kx)=\cos(kp\pi)=(-1)^{kp}} et \Large{\cos(x)^{k}=\cos(p\pi)^{k}=\((-1)^{p}\)^{k}=(-1)^{kp}}.

Je te laisse continuer.

Kaiser

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:08

Mais comment peux-tu affirmer que cos(kp=(-1)kp ??

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:14

D'après la formule de de Moivre, on a pour tout entier q
\Large{\cos(q\pi)+i\sin(q\pi)=(\cos(\pi)+i\sin(\pi))^{q}=(-1)^{q}}.
Ensuite, il suffit d'identifier les parties réelle et imaginaire.

Kaiser

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:18

Je ne comprends pas très bien, désolé

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:22

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

J'ai montré que \Large{\cos(q\pi)=(-1)^{q}} pour tout entier q.
Il suffit donc d'appliquer ce résultat avec q=pk.

Kaiser

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:23

Ce que je ne comprends pas, c'est comment tu enlèves le sinus de la formule de Moivre ...

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:25

On a \Large{\sin(\pi)=0}, non ?

Posté par
pierrettere : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:28

oui, d'accord, excuse moi
Merci beaucoup

Posté par
kaiser Moderateurre : congruences, somme, cosinus 17-09-06 à 00:30

Mais je t'en prie !

y'a pas de mal !


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