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Conique

Posté par
Zorozoro
16-05-19 à 23:05

Aidez moi pour cette exercice SVP
On donne Cm  : (m+1)x^2+(m+5)y^2-m^2-6m-5 l'équation d,une conique
On demande déterminer suivant la position d'un point Mo de coordonnées xo yo dans le plan P le nombre et la nature des coniques .
Que faire  ?
Moi j'ai essayé de calculer le discriminant d'une équation du second degré en fontion des coordonnés de Mo et de m
Le discriminant est en fonction des coordonnés de Mo mais je ne sais pas trop comment l'exploiter ,..
Quelqu un à une idée pour m'aider SVP ?

Posté par
larrech
re : Conique 16-05-19 à 23:14

Bonsoir,

Pour l'équation c'est (m+1)x^2+(m+5)y^2-m^2-6m-5=0 sans doute

Citation :
On demande déterminer suivant la position d'un point Mo de coordonnées xo yo dans le plan P le nombre et la nature des coniques .


Ce  n'est pas clair du tout . Recopie mot à mot la question  posée.

Posté par
mathafou
re : Conique 16-05-19 à 23:26

Bonjour,

le nombre et la nature des coniques Cm qui passent par ce point M0 certainement...

donc la première chose à faire est de résoudre l'équation en l'inconnue m obtenue en remplaçant x et y par x0 et y0 dans  l'équation des Cm

donc tout à fait :
Le discriminant est en fonction des coordonnés de Mo mais je ne sais pas trop comment l'exploiter ,..
Δ(x0,y0) >0 est une région du plan déterminée par la courbe Δ(x,y) = 0

quelle est cette courbe ? et donc comment décrire cette région du plan...
plus de détails si tu mets tes résultats  précis.

Posté par
Zorozoro
re : Conique 16-05-19 à 23:50

Oui la courbe passe par Mo
Le discriminant donne ceci
(xo2+yo2-6)2 +4(xo2+5yo2-5)
J,ai essayé de développer et j,ai obtenu ceci
(xo2+yo2)2-8(xo2-yo2)+16

Posté par
Zorozoro
re : Conique 17-05-19 à 00:11

Comment déterminer alors ces points du plans suivant le nombre de courbes et la nature
Merci

Posté par
mathafou
re : Conique 17-05-19 à 00:38


tu en es tout près, en fait
(en écrivant x et y au lieu de xo yo pour simplifier)

(x²+y²)² - 8(x²-y²) + 16 = (x²+y²)² - 8(x²+y²) +16 + 16y² = (x²+y² -4)² + 16y²

on voit que c'est > 0 partout sauf nul si y = 0 et x = ± 2
il y aura donc  partout deux valeurs de m telles que Cm passe par (x0; y0)

par contre  il faut aussi tenir compte qu'il existe des valeurs de m pour lesquelles la courbe Cm n'existe pas !!
ou est dégénérée en une droite à savoir l'axe Ox ou l'axe Oy
ce qui va réduire le nombre de solutions car sur les deux valeurs de m obtenues, une peut ne correspondre à aucune Cm.

à mon avis déja avant de se poser la question d'étudier quelles courbes Cm selon les points arbitrairement choisis (xo; yo) par lesquels elles passeraient
il faudrait déja étudier les types de conique Cm selon les valeurs de m !

Posté par
Zorozoro
re : Conique 17-05-19 à 00:55

Merci beaucouo
C'était d'ailleurs la1ère question.  Étudier les coniques suivant la valeur de m

Posté par
Zorozoro
re : Conique 25-05-19 à 12:59

Bonjour
SVP comment peut on montrer qu'en tout point Mo ou passe deux coniques , les tangente en ces points sont perpendiculaires ?
J'ai essayé d écrire les équations des coniques lorsqu'on a deux coniques en Mo pour conjecturer mais ça ne montre pas ce que je veux démonter.
Comme on a une hyperbole ou une ellipse , j'ai écris ces équations
x0x/(m+5) +yoy\(m+ 1) =1et xox/(m+5)-yoy/(m+1)=1

Merci de m'aider

Posté par
Sylvieg
re : Conique 25-05-19 à 15:18

Bonjour,

Citation :
C'était d'ailleurs la1ère question

Et si on avait l'énoncé complet, au mot près, avec les questions qui précèdent ?

Posté par
lake
re : Conique 25-05-19 à 15:24

Bonjour,

  Le coefficient directeur de tes tangentes (dans le cas où il passe deux coniques réelles par M_0(x_0,y_0)) est donc de la forme:

  a=-\dfrac{m+1}{m+5}\,\dfrac{x_0}{y_0}

Autrement dit, pour les deux valeurs de m adéquates, soit m_1 et m_2   :

    a_1=-\dfrac{m_1+1}{m_1+5}\,\dfrac{x_0}{y_0}

   a_2=-\dfrac{m_2+1}{m_2+5}\,\dfrac{x_0}{y_0}

Avec m_1 et m_2 solutions de l'équation:

   -m^2+(x_0^2+y_0^2-6)m+x_0^2+5y_0^2-5=0

Il faut vérifier que a_1a_2=-1 sachant que d'après l'équation précédente:

   \begin{cases}m_1+m_2=x_0^2+y_0^2-6\\m_1m_2=-x_0^2-5y_0^2+5\end{cases}

Posté par
lake
re : Conique 25-05-19 à 15:24

Ah! Bonjour Sylvieg

Posté par
Sylvieg
re : Conique 25-05-19 à 16:15

Bonjour lake  

Posté par
ThierryPoma
re : Conique 25-05-19 à 16:50

Bonjour,

Je n'ai pas tout lu, mais, pour ma part, j'aurais dressé un catalogue de coniques en fonction des valeurs du paramètre m. Par exemple, que se passe-t-il lorsque m\in\{-5,\,-1\} ? Dans le cas contraire ?

Posté par
Sylvieg
re : Conique 25-05-19 à 17:36

@mathafou

Citation :
il existe des valeurs de m pour lesquelles la courbe Cm n'existe pas !!
Je ne pense pas qu'avec des coordonnées  a  et  b   qui vérifient l'équation de  Cm , on puisse avoir une courbe vide. Mais je peux me tromper.

J'ai préféré  a  et  b  pour  les coordonnées de  M0 .

Posté par
lake
re : Conique 25-05-19 à 18:30

Citation :
Je ne pense pas qu'avec des coordonnées  a  et  b   qui vérifient l'équation de  Cm , on puisse avoir une courbe vide.


C'est vrai.

Citation :
il existe des valeurs de m pour lesquelles la courbe Cm n'existe pas


Vrai aussi, par exemple lorsque m<-5

  

Posté par
carpediem
re : Conique 25-05-19 à 18:34

alut

bon je n'étais pas intervenu plutôt ...

(m + 1)x^2 + (m + 5)y^2 - m^2 - 6m - 5 = 0 \iff (m + 1)x^2 + (m + 5)y^2 = (m + 1)(m + 5)   (*)

1/ étude des valeurs -1 et -5

2/ dans les autres cas :  (*) \iff \dfrac {x^2} {m + 5} + \dfrac {y^2} {m + 1} = 1

21/ on exclue le cas m + 1 et m + 5 on même signe négatif ...

22/ les cas m + 1 et m + 5 ont même signe + ou ont de signes contraires répondent à la question 1/ ... qu'on n'avait pas eue ... (nature des coniques)

23/ de plus pour tout point M(a, b) on peut conclure si une conique passe par ce point ...

on peut éventuellement poser p = sgn (m + 5) \sqrt {|m + 5|} $ et $ q = sgn (m + 1) \sqrt { |m + 1|}  où sgn est la fonction signe

dans tous les cas une équation cartésienne de la tangente au point M(a, b) est \dfrac {ax}{m + 5} + \dfrac {by} {m + 1} = 1

...

Posté par
carpediem
re : Conique 25-05-19 à 18:36

damned ... mal défini mon p et mon q ...

Posté par
Zorozoro
re : Conique 05-06-19 à 09:00

Merci de vos suggestions
Je suis parvenu au résultat
Merci

Posté par
carpediem
re : Conique 05-06-19 à 09:13

de rien

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