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Conique

Posté par
barka54
13-05-21 à 12:32

Bonjour,
Besoin d'un coup de main pour cet exercice :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;i;j). On considère la conique (F) : (x-2)(y+1)=10.

Par changement de repère, montrer que (F) a une nouvelle équation: Y=\frac{10}{X} que vous tracerez.


Pour retrouver la nouvelle équation de (F), j'ai posé X=x-2 et Y=y+1 et je désigne par S le point de coordonnées (2;-1) dans le repère (O;i;j) . Dans le repère (S;i;j) on a donc:
(F): XY=10 soit Y=10/X .
À partir de cette équation j'aimerais déterminer les éléments caractéristique de cette conique (qui est une hyperbole) : foyers ; asymptôtes; sommets ... Mais cette forme me paraît étrange, je ne sais si on peut l'écrire sous une forme similaire à celle-ci:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 12:37

Bonjour,

Les asymptotes sont les axes de coordonnées d'origine S

L'axe focal est la première bissectrice d'équation Y=X dans le repère d'origine S

  Son centre est en S, les sommets peuvent être déterminés puis les foyers.

Posté par
carpediem
re : Conique 13-05-21 à 13:00

salut

barka54 @ 13-05-2021 à 12:32

Y=10/X .
À partir de cette équation j'aimerais déterminer les éléments caractéristique de cette conique (qui est une hyperbole) : foyers ; asymptôtes; sommets ...
toutes les informations sont contenues déjà dans la relation (x - 2)(y + 1) = 10
voir plus bas


Mais cette forme me paraît étrange, je ne sais si on peut l'écrire sous une forme similaire à celle-ci:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 bien trop compliqué ...[/i]


la relation (x - 2)(y + 1) = 10 est la même que la relation xy = 1 (à une échelle 10 près)

limite, asymptote et tout et tout sont connues pour la fonction inverse ...

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:10

... et en tant qu'hyperbole équilatère, son excentricité est \sqrt{2}.

Tu as plus qu'il n'en faut pour déterminer les foyers.

Posté par
barka54
re : Conique 13-05-21 à 13:23

Ok, donc dans le repère (S,i,j) les asymptôtes ont pour équation
Y=aX et Y=bX puisqu'elles passent par S. Mais je vois pas comment trouver les réels a et b.

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:27

Y=\dfrac{10}{X}

Mais en terme de limites à l'infini et en 0, l'équation  des asymptotes est immédiate : ce sont les axes de coordonnées.

Posté par
barka54
re : Conique 13-05-21 à 13:29

lake @ 13-05-2021 à 12:37

Bonjour,

Les asymptotes sont les axes de coordonnées d'origine S

les axes (S;i) et (S;j) sont alors ces asymptôtes?

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:30

Mais oui! Regarde ce que j'ai écrit au dessus.

Posté par
barka54
re : Conique 13-05-21 à 13:31

oui, je me retrouve...

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:34

et c'est donc une hyperbole équilatère (d'excentricité \sqrt{2})

l'axe focal est la première bissectrice d'équation Y=X (dans le repère d'origine S)

Tu peux en déduire les coordonnées des sommets puis a puis c (la distance de S aux foyers ...)

Posté par
barka54
re : Conique 13-05-21 à 13:42

D'accord,  puis que ses asymptôtes sont perpendiculaires, elle est équilatère.
Et puisque l'axe focal coupe l'hyperbole aux points A et A', sommets de (F) ; en déterminant ces points d'intersection par résolution du système des deux éq
Y=10/X et Y=X , on trouve A(√10; √10) et A'(-√10; -√10).

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:46

Tout à fait et donc a=2\sqrt{5} (la diagonale d'un carré de côté \sqrt{10} puis c=SF=SF'=ea)  ...

Posté par
barka54
re : Conique 13-05-21 à 13:52

soit c=√2*2√5=2√10 .

Et là tout y est pour tracer (F) .

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:53

soit c=√2*2√5=2√10 .

Exact.

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:54

Ouille!

  

Citation :
soit c=√2*2√5=2√10 .


Exact !

Posté par
barka54
re : Conique 13-05-21 à 13:58

Merci à vous   ...

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 13:58

De rien barka54

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 14:35

Voici ce que ça donne :

Conique

Posté par
lake
re : Conique 13-05-21 à 16:10

Un dernier commentaire si tu repasses par ici:

  Je vois que tu étais un petit peu "perdu".
Tu fais tourner la figure de 45 ° dans le sens des aiguilles d'une montre autour de S.
Et tu te retrouves immédiatement en pays connu



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