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conjugaison et puissance

Posté par
sgu35 29-05-21 à 16:41

Bonjour,
je cherche à démontrer une propriété sur la conjugaison :
\forall z \in \C, \forall n \in \Z , \overline{z^n}=\overline{z}^n

malou edit > ** changement de niveau**

Posté par
carpediemre : conjugaison et puissance 29-05-21 à 17:13

salut

ça se fait très bien par récurrence ... entre autre ...

Posté par
Camélia Correcteurre : conjugaison et puissance 29-05-21 à 17:13

Bonjour

Commence par \overline{ut}=\overline u\times \overline t

Posté par
sgu35re : conjugaison et puissance 29-05-21 à 18:42

Je le démontre en deux temps : d'une part pour les n entiers positifs, d'autre part pour les n entiers négatifs, mais je me demande si on peut faire plus vite en conjuguant z*z(-1)=1 :
on obtient \overline{z} ^{-1}*\overline{z^{-1}}=1 ...

Posté par
carpediemre : conjugaison et puissance 29-05-21 à 22:36

oui ça suffit pour les entiers positifs ...

ensuite pour les entiers négatifs on obtient le résultat avec la propriété que tu dois démontrer ...

Posté par
sgu35re : conjugaison et puissance 30-05-21 à 07:39

Citation :
on obtient le résultat avec la propriété que tu dois démontrer ...

Qu'est-ce que tu veux dire par là?

Posté par
carpediemre : conjugaison et puissance 30-05-21 à 09:54

ben une fois que tu as démontré que le conjugué de l'inverse est l'inverse du conjugué et le résultat pour n > 0 alors le résultat pour n < 0 est immédiat ...

Posté par
sgu35re : conjugaison et puissance 30-05-21 à 16:33

Peux-tu être plus précis s'il te plait?

Posté par
sgu35re : conjugaison et puissance 30-05-21 à 17:28

J'ai trouvé une démonstration :
tout d'abord, soit z \in \C, on a \overline {z^{-1}}*\overline {z}=\overline {z^{-1}*z}=\overline {z^{0}} =\overline {1}=1
donc \overline {z}^{-1}=\overline {z^{-1}}

Soit n \in \N*,  -n \in \Z-*,
on a \overline{{(z^{-1}})^{n}}=\overline{z^{-1}}^{n} d'après la propriété P(n) vue plus haut.
et \overline{z^{-1}}^{n}=\overline{(z}^{-1})^{n} d'après la propriété sur l'inverse du conjugué.
d'où \overline{z^{-n}}=\overline{z}^{-n}}

Posté par
carpediemre : conjugaison et puissance 30-05-21 à 20:06

la première démonstration n'est vraie que si tu as déjà démontré que le produit des conjugués est le conjugué des produits ...

la première étape est donc ce qu'a proposé Camélia ...

Posté par
sgu35re : conjugaison et puissance 30-05-21 à 20:29

oui c'est vrai :  
\overline {z^{-1}}*\overline {z}=\overline {z^{-1}*z} nécessite une autre propriété sur le produit du conjugué :   \overline {z*z'}=  \overline {z}*  \overline {z'}
qui se démontre en utilisant la définition du conjugué : \overline{z}=a-ib
d'une part : \overline {z}* \overline {z'}=(a-ib)(a'-ib')=aa'-bb'-i(ab'+a'b)
et d'autre part : \overline {z*z'}=\overline{(a+ib)(a'+ib')}=\overline{aa'-bb'+i(ab'+a'b)}=aa'-bb'-i(ab'+a'b) = \overline {z}*  \overline {z'}


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