Z=(z-4-2i)/(z+2+i)
z = x + iy

Z=(x+iy -4 - 2i)/(x+ iy+2+i)
Z = (x - 4 + i(y-2)) / (x+2 + i(y+1))
Z = (x - 4 + i(y-2))(x+2 - i(y+1)) / [(x+2 + i(y+1)).(x+2 - i(y+1))]
Z = (x - 4 + i(y-2))(x+2 - i(y+1)) / [(x+2)² + (y+1)²]
Z = [(x - 4)(x+2)+(y+1)(y-2) + i[(y-2)(x+2)-(x-4)(y+1)] / [(x+2)² +
(y+1)²]

Si Z est réel strictement positif, cela implique:

(x - 4)(x+2)+(y+1)(y-2)> 0   (1)
(y-2)(x+2)-(x-4)(y+1) = 0    (2)

(2) ->
xy + 2y - 2x - 4 - (xy + x - 4y - 4) = 0
6y - 2x  - x  = 0
6y = 3x
x = 2y   (3)

remis dans (1) ->
(2y - 4)(2y+2)+(y+1)(y-2)> 0  
4(y-2)(y+1) + (y+1)(y-2)> 0  
5(y-2)(y+1) > 0
y dans ]-oo ; -1[ U ]2 ; oo[ convient
avec x = 2y -> y = x/2

Il s'agit donc, dans le plan complexe, de 2 demi droites d'équation
y = x/2
avec x dans ]-oo ; -2[ U ]4 ; oo[
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Vérifie tous les calculs, je n'ai rien relu.