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conjugué exponentielle complexe

Posté par
sgu35 09-11-20 à 20:22

Bonsoir,
je cherche à montrer que :
\forall \theta \in \R , \overline{e^{i\theta}}=(e^{i\theta})^{-1}=e^{-i\theta}
Mon livre me dit que cette propriété découle de :
pour tout \theta \in \R , e^{i\theta}*e^{-i\theta}=e^{i(\theta-\theta)}=e^{i*0}=1
Cependant, on vient de démontrer (toujours dans mon livre), que
le conjugué de l'exponentielle complexe est l'exponentielle du conjugué...

Posté par
Pirhore : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 20:45

Bonsoir,

cos(\theta)+i\,sin(\theta)=e^{i\theta}

\bar{cos(\theta)+i\, sin(\theta)}=cos(\theta)-i\,sin(\theta})=e^{-i \theta}

\bar{e^{i\theta}}=e^{-i \theta}

Posté par
boninmire : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 20:46

Bonsoir,

Et alors ... qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Posté par
sgu35re : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 20:49

Je ne comprend pas que la propriété suivante :
\forall \theta \in \R , \overline{e^{i\theta}}=(e^{i\theta})^{-1}=e^{-i\theta}

puisse découler de celle qui suit :
pour tout \theta \in \R , e^{i\theta}*e^{-i\theta}=e^{i(\theta-\theta)}=e^{i*0}=1 \\

Posté par
Pirhore : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 21:05

e^{i\theta}\,\bar{e^{i\theta}}=1

\bar{e^{i\theta}}=\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}

Posté par
sgu35re : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 21:17

Je pense qu'on devrait mettre e^{-i\theta} avant (e^{i\theta})^{-1}
D'abord on sait que \overline{e^{i\theta}}=e^{\overline{i\theta}}=e^{-i\theta} puis comme
e^{i\theta}*e^{-i\theta}=e^{i(\theta-\theta)}=e^{i*0}=1, on a e^{-i\theta}=1/e^{i\theta}=(e^{i\theta})^{-1}

Posté par
Pirhore : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 21:43

ben je suis parti de la dernière ligne de ton post de 20:49

Posté par
sgu35re : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 21:53

Le problème c'est qu'on ne sait pas que (e^{i\theta})^{-1}=e^{-i\theta}

Posté par
Pirhore : conjugué exponentielle complexe 09-11-20 à 22:02

si l'exposant -1 donne immédiatement la réponse

Posté par
boninmire : conjugué exponentielle complexe 10-11-20 à 13:32

On a du mal à comprendre ce que tu ne comprends pas.
J'ai l'impression que tu as du mal avec l'enchainement logique des choses.

Citation :
on vient de démontrer (toujours dans mon livre), que
le conjugué de l'exponentielle complexe est l'exponentielle du conjugué

Le conjugué de i\theta étant -i\theta, il en résulte que \overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta} .

Comme \theta \in \R , e^{i\theta}*e^{-i\theta}=e^{i(\theta-\theta)}=e^{i*0}=1

e^{-i\theta}=1/e^{i\theta}={(e^{i\theta})}^{-1}

En rassemblant ces résultats, on a bien

\forall \theta \in \R , \overline{e^{i\theta}}=(e^{i\theta})^{-1}=e^{-i\theta}

Est-ce que cela te rassures ?

Posté par
sgu35re : conjugué exponentielle complexe 10-11-20 à 16:00

Oui c'est exact, c'est exactement ce que j'ai écrit le 09-11-20 à 21:17.


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