Bonjour,

Je suis bloqué dans la question 2 et 3 de l'exercice suivant :

Le problème :
Soit (E,d) un espace métrique, A une  une partie fermée de E, B le complémentaire de A dans E

Question 1: Soit f de E dans , continue sur A, prenant la valeur constante k sur frontière de A (condition considérée comme vériifée si Fr(A) est vide).
Soit vérifiant g(x)=f(x) si et g(x)=k si . Montrer que g est continue.

Question 2: Supposons E connexe, ainsi que Fr(A). Montrer alors que A est connexe (On pourra supposer qu'il existe une fonction continue non constate sur A ne prenant que les valeurs 0 et 1).

Question 3: Montrer par un contre exemple que si A n'est pas supposée fermée, le résultat n'est plus vrai.


Mes recherches : Pour la question 2, je suppose que je dois utiliser le fait qu'une fonction de A vers {0,1} est constante ssi A est connexe. Mais je ne vois pas comme utiliser la question 1. Il me semble si E est connexe, alors toute fonction continue sur E est constante, donc constante sur A, mais cela me semble trop simple ?

Pour la question 3 : Je ne sais comment attaquer ce problème

Merci de votre aide.