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connexité d'un espace topologique discret
Bonjour,
Je vous écris pour vérification. J'ai l'énoncé suivant :
Un espace topologique discret est connexe si et seulement si il est réduit à un seul élément.
Voici comment j'ai procédé :
Tout d'abord, supposons que soit un espace topologique réduit à un élément
(donc discret).
Alors, il est clair que les seules parties à la fois ouvertes et fermées de (pour la topologie discrète) sont :
et
et donc
est connexe.
Inversement, supposons que est un espace topologique discret et connexe.
Par l'absurde, supposons que le cardinal de soit supérieure ou égale à 2.
Alors, il existe tel que l'on puisse écrire :
.
Posons : définie par :
, si
, si
Comme les deux ensembles sont munis de la topologie discrète, tous les ensembles au départ et à l'arrivé sont des ouverts et donc est continue.
Mais puisque est connexe, la fonction
est constante et donc :
- ou bien et alors
, ce qui contredit notre hypothèse.
- ou bien et dans ce cas :
et donc on aurait :
, ce qui est absurde.
Voilà je pense que ça tient la route, mais je me pose la question de savoir s'il n'y aurait pas une façon plus direct d'avoir cela ( précision : sans passer par les composantes connexes ou la connexité par arcs... )
Bonjour.
Ta démo est ok.
Pour faire plus simple :
Soit X un espace topologique discret et connexe contenant un élément x. Alors {x} est ouvert et fermé, donc égal à l'ensemble vide ou à X. Puisque ce n'est pas l'ensemble vide, alors X={x}.
Et au passage, je modifierais l'énoncé :
Un espace topologique discret non vide est connexe si et seulement si il est réduit à un seul élément.
Ok, merci pour ton aval ! 
Pour faire plus simple :
Soit X un espace topologique discret et connexe contenant un élément x. Alors {x} est ouvert et fermé, donc égal à l'ensemble vide ou à X. Puisque ce n'est pas l'ensemble vide, alors X={x}.
En effet, beaucoup plus simple...
Et pour finir, en effet, le retour de ma fâcheuse tendance à ignorer l'ensemble vide...
Salut !
Et je vais être encore plus précis :
Un espace topologique discret est connexe si et seulement si il possède au plus un élément.
salut
pour compléter l'idée de Saiga on aurait pu prendre X = {a, b} U Y
quel que soit l'ensemble Y et a <> b bien sûr ...
et poser f(a) = 0 et f(b) = 1 et raisonner uniquement sur {a, b} ... pour arriver à la même contradiction ...
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