Sans doute utiliser la fonction déterminant, qui est continue car polynôme de ses coefficients, pour "contourner" O .

Bonsoir à tous

jeanseb> je ne vois pas vraiment où tu veux en venir. Sinon, je pense avoir trouvé en utilisant la trigonalisabilité. Il me reste à -ifier le tout.

Kaiser

Je pense plutot qu'il s'agit ici d'essayer d'abord de joindre deux matrices triangulaires par un arc, puis ensuite de conclure par trigonalisation.

Normalement, il faudrait montrer que deux matrices complexes quelconques sont reliés par un arc continu. En fait, on peut simplifier le problème car si l'on montre que toute matrice inversible est relié à la matrice identité, alors on aura gagné.
Soit donc A une matrice carrée complexe d'ordre n inversible.
On sait alors qu'elle est trigonalisable, c'est-à-dire qu'il existe P une matrice inversible et T une matrice triangulaire supérieure telle que :



Pour k =1..n, notons le k-ième élément de la diagonale de T.
Comme A est inversible ces éléments qui ne sont autre que les valeurs propres de A, sont non nuls.
On peut donc les écrire sous la forme avec pour tout k,

Posons également .

Définissons maintenant l'application par pour tout t de [0,1] :




où l'on a posé pour tout k et tout t de [0,1],

1) définit clairement une fonction continue sur [0,1] qui vérifie et

2) Pour tout t, est inversible car les éléments diagonaux de la matrice triangulaire sont les
qui sont nuls. En effet, on a :

car les sont strictement positifs.

Ainsi, on a montré que toute matrice inversible est relié à la matrice identité et donc deux matrices inversibles quelconques sont reliées, d'où le résultat.


Kaiser

bonjour Kaiser et tout le monde
merci bien Kaiser,c'est bien fait et bien reçu.je
voudrais savoir une reference où la trouver,

Bonsoir machin

Absolument!

Petite précision (mais tout le monde avait compris):

Citation :
qui sont nuls

bonjour Kaiser
je veux dire que je cherche un livre qui a traité
la connexité via la trigonalisabilité, car ce que j'ai trouvé jusqu'au moment c'est via la surjectivité de l'exponentielle matricielle.
merci

Bonjour à tous

Jeanseb> Effectivement, une petite faute de frappe.
machin> La démonstration que j'ai proposée utilise la trigonalisabilité donc je ne vois pas ce que tu cherches de plus à moins que tu cherches une preuve plus simple.

Kaiser