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Connexité de l ensemble de mandelbrot M
Rappel:
Une partie non vide A d'un espace topologique E est dite connexe si pour tout couple (O,O') d'ouverts disjoints de E on ait:
A
O
O'
AO ou AO'
Proposition:
Si(Kn)n
est une suite décroissante de parties non vides compactes connexes d'un espace métrique E alors K=
Kn est une partie non vide compacte connexe de E.
questions:
-donner une preuve (ou un contre-exemple)à cette proposition.
-l'hypothése sur la compacité des Kn est-elle nécéssaire?.
Une intersection de connexes n'est pas forcément connexe.
Cependant lorsque la famille de connexe est décroissante, je pense que celà doit être vrai.
Le fait que K soit compacte découle de la propriété de Heine-Borel.
En fait je ne vois pas très bien ce que signifie ce post, est ce une question ou une reflexion?
Salut,
A connexe s'écrit aussi (par complément) : A ne peut pas s'écrire F1 union F2, avec Fi fermés disjoints.
On se restreint à E inter K1 comme ça tous les fermés sont compacts 
Si K = F1 union F2, Fi non vides et disjoints. Les Fi sont compacts donc d = d(F1,F2) > 0 (elle est atteinte par compacité et donc finie et > 0).
Ui = union B(x,d/4) pour x dans Fi. U1 et U2 sont 2 ouverts disjoints.
Les Kn inter (E - U1 union U2) sont une suite décroissante de compacts non vide donc leur intersection est non vide (classique). Et on a (enfin !) la contradiction avec le fait que A est connexe.
Problème intéressant:
L'intersection de compacte donnant un compact n'étant pas un problème, passons directement à la connexité:
Soit (Cn) une famille décroissante de connexes, notamment pour i>0 l'intersection jusqu'à i est connexe puisque c'est justement Ci, qui, par hypothèse est un connexe.
Supposons que l'intersection C de tous nos connexes n'est pas connexe.
Alors il existe 2ouverts U et V non vides et disjoints tels que leur union soit C.
La suite étant décroissante, C est inclus dans chacun des Ci. Notamment U union V est incluse dans Ci.
Je pense que ca peut être intéressant de partir de ceci...
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