Inscription / Connexion Nouveau Sujet
connexité et compact
soit *E* un espace topologique separe
soit *F* une partie compacte de *E* qui n-est pas connexe.
montrer qu-il existe deux ouverts disjoints O₁ et O₂ de E tels que F⊂O₁U O₂ avec F∩O₁≠∅ et F∩O₂≠∅
j-ai un soucis dans la fin de mon raisonnement que j-expose dans la suite....
F non convexe alors F peut s-ecrire comme la reunion de deux ouvert non vide et disjoint de F
ie ∃A₁ et A₂ ouvert de E tq
F=(A₁∩F)∪(A₂∩F)
avec A₁∩F et A₂∩F tous deux non vide et disjoint...
F=(A₁∩F)∪(A₂∩F) →
F⊂A₁UA₂
nous sommes donc tenté de prendre A₁=O₁ et A₂=O₂
mais il faudrait se rassurer que A₁ et A₂ sont non vide et disjoint.
A₁∩F etant non vide on a donc A₁ non vide
de meme A₂ non vide
maintenant il faut montrer que A₁∩A₂ est vide *voila ou nait mon probleme*
Comment montrer cela en notant qu-on a pas utilisé les hypothese E separé et F compact🤔🤔🤔
Bonjour Nyadis.
Il y a un truc qui me gêne au niveau de l'énoncé : si une partie F d'un espace topologique E est non connexe, alors, par définition, il existe deux ouverts non vides U et V, disjoints, rencontrant chacune F, et dont la réunion contient F.
Que E soit séparé ou non, que F soit compacte ou pas ne change rien à l'affaire ... ou alors j'ai pas bien saisi l'énoncé !
Je pense que l'énoncé est plutôt ceci :
Soit E un espace topologique séparé.
Soient A et B deux compacts disjoints de E.
Alors il existe deux ouverts U et V, non vides et disjoints, l'un contenant A et l'autre B, qui ne se rencontrent pas.
Autrement dit, A 
B est non connexe.
jsvdb bonsoir !
Je pense plutôt que
une partie F d'un espace topologique E est dite non connexe,si ( par définition ) il existe deux ouverts U et V de E , tels que leurs traces sur F soient non vides et forment une partition de F .
J'utilise la définition qui ne fait pas intervenir la topologie induite 
Les deux définitions sont équivalentes.
Bonsoir etniopal !
C'est la même chose ... non ?
non c-est pas pareil....
en utilisant la topologie induite sur F les ouvert de F construit en utilisant deux ouvert de E sont disjoints mais les ouverts de E utilisés ne le sont pas necessairement
voila j-espere me faire comprendre
E est separe et F est compact
on peut donc conclure que F est fermé
de plus les ouverts de F sont disjoints donc
(A₁∪A₂)∩F=
...... suis vraiment limité
comment prouver que A₁∩A₂=∅
ou en core peut on utiliser le fait que tout espace compact dans un separe est normal .....
Nyadis bonjour !
Si K est un compact non connexe d'un séparé E il existe une partition { F , G } de K où F et G sont des fermés (non vides ) de K .
F et K sont donc des fermés de E donc des compacts non vides de E .
Tu as déjà vu qu'on pouvait séparer ( par des ouverts ) 2 compacts non vides disjoints .
@etniopal, il y a une chose qui me paraît pas claire :
tu dis : " F et K sont donc des fermés de E ".
J'imagine que tu as voulu écrire : " F et G sont donc des fermés de E " et ça ne me paraît pas si évident.
Eg : [0,1] est compact dans IR, réunion de [0,1]
et de [0,1](
-)
Je vois plutôt les choses comme ça :
K est compact non connexe de E.
Donc, pour la topologie induite, K se partitionne en {F,G} avec, F, G qui sont deux fermés non vides de K.
Comme K est compact, F et G sont des compacts de K.
Donc, directement ( = sans passer par fermé), des compacts de E.
Et la suite inchangée : on peut donc séparer ouvertement F et G dans E.
Et du coup, l'autre conclusion, c'est que, de par leur séparation ouverte dans E, les parties F et G sont nécessairement des parties compactes de E (à vérifier par la définition des recouvrements ouverts).
Bonjour,
Eg : [0,1] est compact dans IR, réunion de [0,1]
et de [0,1](-)bah oui, je sais bien ... on a [0,1], partie compacte de IR, qui est réunion de ces deux parties et pourtant aucune des deux n'est fermée.
C'était un contre-exemple à ce qui me paraissait être une conclusion hâtive du raisonnement qui précédait.
etniopal
merci
je te lis mais j'arrive pas à entrer dans l'exprit de ton raisonnement
On cherche bien deux ouvert de E disjoints dont union contien notre compact non connexe que tu as noté K .....
Ce que j'ai voulu dire c'est que "fermé dans la topologie induite n'implique pas fermé dans la topologie qui est l'origine de l'induction"
Si K est un compact non connexe d'un séparé E il existe une partition { F , G } de K où F et G sont des fermés (non vides ) de K .
F et K sont donc des fermés de E donc des compacts non vides de E .
Ce que j'ai voulu dire c'est que "fermé dans la topologie induite n'implique pas fermé dans la topologie qui est l'origine de l'induction"
Pour une partie compacte, ou simplement fermé, si.
Je vois plutôt les choses comme ça :
K est compact non connexe de E.
Donc, pour la topologie induite, K se partitionne en {F,G} avec, F, G qui sont deux fermés non vides de K.
Comme K est compact, F et G sont des compacts de K.
Donc, directement ( = sans passer par fermé), des compacts de E.
Et la suite inchangée : on peut donc séparer ouvertement F et G dans E.
Je n"arrive pas à racoller ces idées a mon problème
Ce que j'ai voulu dire c'est que "fermé dans la topologie induite n'implique pas fermé dans la topologie qui est l'origine de l'induction"
Pour une partie compacte, ou simplement fermé, si.
Oui, fermé dans l'origine, implique fermé dans l'induite ... mais la réciproque est fausse en général.
Et à priori, quand on prend K partie compacte non connexe, au début du raisonnement, il n'y pas de raison à priori que F et G soit fermée dans la topologie d'origine; il faut rajouter du raisonnement pour y arriver.
Je n"arrive pas à racoller ces idées a mon problème
Euh, on n'est pas place Pigalle ici
Ce que j'ai voulu dire c'est que "fermé dans la topologie induite n'implique pas fermé dans la topologie qui est l'origine de l'induction"
Pour une partie compacte, ou simplement fermé, si.
Oui, fermé dans l'origine, implique fermé dans l'induite ... mais la réciproque est fausse en général.
Non, la réciproque est vraie pour une partie fermée. Ce qu'est une partie compacte dans un espace séparé.
Un fermé d'un fermé est un fermé.
Ok, je reprends le fond de ma pensée :
K, partie compacte de E, est non connexe : il existe donc deux parties fermées dans K, F et G, parties non vides, formant une partition de K.
F et G sont donc des fermés de K.
Si je m'arrête là, F et G n'ont aucune raison, à priori, d'être des fermés de E.
e.g. : [0,1] est fermé dans lui-même, mais pas dans .
Ok c'est bon, j'ai compris :
F = F' K où F' est une partie fermée de E.
G = G' K où G' est une partie fermée de E.
F' et G' ne sont pas nécessairement disjoints, mais F et G le sont par hypothèse de non connexité.
Donc F et G sont des fermés de E.
F et G sont aussi des fermés de K, donc compacts, donc on peut les séparer ouvertement.
Bon, je suis confus du pataquès que j'ai semé dans ce fil, mais ça m'a permis de rectifier quelques bricoles.
Je suis pas sur de comprendre l'interet de cette remarque
F' et G' ne sont pas nécessairement disjoints, mais F et G le sont par hypothèse de non connexité.
pour conclure au fait que F et G sont fermés dans E.
Tu sais que F=F'\cap K, avec F' fermé de E et K compact donc fermé de E (car E est séparé) donc F est fermé dans E comme intersection de deux fermés (on a juste besoin de K fermé dans E).
Oui désolé, le fait que j'ai rajouté que F' et G' ne sont pas nécessairement disjoints est lié à une erreur que je faisais au sujet de la non connexité d'une partie d'un espace topologique (erreur qui a d'ailleurs causé tout le pataquès en question).
J'ai donc couché noir sur blanc la rectification de cette erreur afin de bien m'en imprégner.
Évidemment, en soi, elle n'aide pas au raisonnement et son intérêt n'est que de nature purement subjective.
Ok c'est bon, j'ai compris :
F = F'
K où F' est une partie fermée de E.
G = G'
K où G' est une partie fermée de E.
F' et G' ne sont pas nécessairement disjoints, mais F et G le sont par hypothèse de non connexité.
Donc F et G sont des fermés de E.
F et G sont aussi des fermés de K, donc compacts, donc on peut les séparer ouvertement.
jsvdb Merci
Ca devient claire!
Mais je ne comprend pas la notion de *séparer ouvertement*
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac