Connexité par arc

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Connexité par arc
Posté par 
PloufPlouf06  23-08-08 à 23:41
Bonsoir,



Un ptit VRAI ou FAUX (démo exigée):



1) L'ensemble des matrices carrées à coefficients rééls est connexe par arc ? 

2) L'ensemble des matrices carrées à coefficients complexes est connexe par arc ?



Bonne chance (réponse en blank) 
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PloufPlouf06re : Connexité par arc  23-08-08 à 23:42
EDIT : j'ai oublié de préciser que je parle de matrices inversibles. 
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gui_toure : Connexité par arc  23-08-08 à 23:51
Ca veut dire quoi connexe par arc ? 
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PloufPlouf06re : Connexité par arc  23-08-08 à 23:56
C'est un peu long à expliquer, mais de toute façon je ne ferai pas mieux que wiki  : 
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Nightmarere : Connexité par arc  24-08-08 à 00:04
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Encore classique  Si tu veux de jolies questions de structures, tu peux par exemple étudier l'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C). Est-il dense dans Mn(C)? Ouvert dans Mn(C)? Trouver son intérieur etc.
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PloufPlouf06re : Connexité par arc  24-08-08 à 00:08
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Peut-être que c'est classique, mais ça laisse réfléchir ceux qui trouvent que ça ne l'est pas 

Si tu veux vraiment quelque chose de moins classique, c'est cadeau :

Montrer que tout hyperplan de Mn(C) rencontre Gln(C). 
 Posté par 
Nightmarere : Connexité par arc  24-08-08 à 00:10
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Maîtrises-tu toutes les notions présentes dans ce post? 
 Posté par 
PloufPlouf06re : Connexité par arc  24-08-08 à 00:12
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Oui. Si on choisis un hyperplan de Mn(C) c'est à dire que si on prend le noyau d'une forme linéaire sur les matrices, alors on peut toujours trouver une matrice inversible dans ce noyau. 
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Nightmarere : Connexité par arc  24-08-08 à 00:28
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Pour ton deuxième exercice, on connait exactement les éléments de , ce sont les . Il reste plus qu'à montrer qu'il existe M inversible telle que tr(XM) soit nul. On devrait s'en sortir avec les matrices élémentaires.
  Posté par 
Nightmarere : Connexité par arc  24-08-08 à 21:59
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