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conservation de l alignement par symétrie

Posté par coco (invité) 28-05-05 à 17:03

Bonjour à tous. Je galère lamentablement sur comment démontrer la conservation de l'alignement par une symétrie centrale et par une symétrie axiale . J'ai pensé à l'utilisation du Théorème de Thalés pour l'axiale et des propriétés d'un paréllélogramme pour la centrale.Ceci pour le niveau collège  Ai-je raison? En voyez-vous d'autres? Au niveau lycée comment fait-on? Merci d'avance

Posté par
Fractal
re : conservation de l alignement par symétrie 28-05-05 à 18:23

Salut,
Les symétries centrales et axiales sont des isométries, ce qui veut dire qu'elles conservent les distances.
Si A,B et C sont alignés dans cet ordre, on a :
AB+BC=AC
Soit A',B',C' les images respectives de A,B et C par la symétrie.
Puisqu'il s'agit d'une isométrie, A'B'+B'C'=A'C' donc A',B' et C' sont alignés.

Voilà
En espérant avoir répondu à ta question

Posté par Dasson (invité)re : conservation de l alignement par symétrie 28-05-05 à 18:36

Bonjour,

La conservation d'alignement peut aussi être considéré comme cas particulier de la conservation d'angle.

Posté par Dasson (invité)re : conservation de l alignement par symétrie 28-05-05 à 18:38

Manque un e

Posté par Inca (invité)re : conservation de l alignement par symétrie 29-05-05 à 01:33

Bonjour !

Pour la symétrie centrale, je pense qu'on peut procéder ainsi :

Soit une symétrie de centre O. Soit A, B et C trois points ayant pour images respectives A', B' et C' par la symétrie de centre O.

On a : \vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}
Or \vec{OA'}=\vec{OA} et \vec{OB'}=\vec{OB} ( en effet, par définition de la symétrie centrale, O est le milieu de [AA'] et O est le milieu de [BB']
       D'où \vec{A'B'}= \vec{OB}-\vec{OA}
 =\vec{AB}.
De même \vec{A'C'}=\vec{AC}

On suppose A, B et C alignés et on en déduit successivement :

¤ \vec{AB} et \vec{AC} sont colinéaires,
¤ \vec{AB}=\vec{AC} ou \vec{AC}=\vec{AB}, ( où , par définition de la colinéarité ),
¤ \vec{A'B'}=\vec{A'C'} ou \vec{A'C'}=\vec{A'B'} (cf. résultat précedent)
¤ \vec{A'B'} et \vec{A'C'} sont colinéaires,
¤ A', B' et C' sont alignés .

Voila, il me semble qu'elle tient debout ... !

Posté par Inca (invité)re : conservation de l alignement par symétrie 29-05-05 à 03:44

y'a un probleme ..

C'est \vec{OA'}=-\vec{OA} ( au tout début ...)
Ce qui fait \vec{A'B'}=\vec{BA}
et \vec{A'C'}=\vec{CA}

Et , lorsque j'ai utilisé le résultat, cela donne :

-\vec{A'B'}=-*\vec{A'C'} ou -\vec{A'C'}=-\vec{A'B'}

Ce qui revient au même , mais sans erreurs intermédiaires !

Posté par coco (invité)re : conservation de l alignement par symétrie 29-05-05 à 10:26

Merci à tous. Mais n'y a t-il pas de démonstrations niveau collège? Merci

Posté par
rene38
re : conservation de l alignement par symétrie 29-05-05 à 11:18

Bonjour
Pour la symétrie centrale :
A, B, C alignés ; A', B', C' leurs symétriques par rapport à O.
----------------------------------------------------------------
A et A' symétriques par rapport à O O est le milieu de [AA']
B et B' symétriques par rapport à O O est le milieu de [BB']
[AA'] et [BB'] ont même milieu O ABA'B' est un parallélogramme (A'B')//(AB)

De la même façon : (A'C')//(AC)

Or A, B, C alignés (AC)=(AB)
donc (A'B')//(AB) et (A'C')//(AB)
donc (A'B')//(A'C')
donc (A'B')=(A'C')
et donc A', B' et C' sont alignés.



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