Bonjour à tous. Je galère lamentablement sur comment démontrer la conservation de l'alignement par une symétrie centrale et par une symétrie axiale . J'ai pensé à l'utilisation du Théorème de Thalés pour l'axiale et des propriétés d'un paréllélogramme pour la centrale.Ceci pour le niveau collège Ai-je raison? En voyez-vous d'autres? Au niveau lycée comment fait-on? Merci d'avance
Salut,
Les symétries centrales et axiales sont des isométries, ce qui veut dire qu'elles conservent les distances.
Si A,B et C sont alignés dans cet ordre, on a :
AB+BC=AC
Soit A',B',C' les images respectives de A,B et C par la symétrie.
Puisqu'il s'agit d'une isométrie, A'B'+B'C'=A'C' donc A',B' et C' sont alignés.
Voilà
En espérant avoir répondu à ta question
Bonjour,
La conservation d'alignement peut aussi être considéré comme cas particulier de la conservation d'angle.
Bonjour !
Pour la symétrie centrale, je pense qu'on peut procéder ainsi :
Soit une symétrie de centre O. Soit A, B et C trois points ayant pour images respectives A', B' et C' par la symétrie de centre O.
On a : =
Or et ( en effet, par définition de la symétrie centrale, O est le milieu de [AA'] et O est le milieu de [BB']
D'où
De même
On suppose A, B et C alignés et on en déduit successivement :
¤ et sont colinéaires,
¤ = ou =, ( où , par définition de la colinéarité ),
¤ = ou = (cf. résultat précedent)
¤ et sont colinéaires,
¤ A', B' et C' sont alignés .
Voila, il me semble qu'elle tient debout ... !
y'a un probleme ..
C'est =- ( au tout début ...)
Ce qui fait
et
Et , lorsque j'ai utilisé le résultat, cela donne :
-=-* ou -=-
Ce qui revient au même , mais sans erreurs intermédiaires !
Merci à tous. Mais n'y a t-il pas de démonstrations niveau collège? Merci
Bonjour
Pour la symétrie centrale :
A, B, C alignés ; A', B', C' leurs symétriques par rapport à O.
----------------------------------------------------------------
A et A' symétriques par rapport à O O est le milieu de [AA']
B et B' symétriques par rapport à O O est le milieu de [BB']
[AA'] et [BB'] ont même milieu O ABA'B' est un parallélogramme (A'B')//(AB)
De la même façon : (A'C')//(AC)
Or A, B, C alignés (AC)=(AB)
donc (A'B')//(AB) et (A'C')//(AB)
donc (A'B')//(A'C')
donc (A'B')=(A'C')
et donc A', B' et C' sont alignés.
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