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Construction d'un cercle
Bonjour
pouvez-vous svp m'aider à résoudre le problème suivant :
On demande de construire un cercle C' tangent au cercle C donné, de centre O, tangent à la droite (D) donnée et passant par le point A donné.
A et C sont extérieurs à (D), et situés du même côté de (D), A est extérieur à C
Voir schéma
Mes recherches sont en rouge sur le schéma. J'ai tracé un diamètre de C qui, prolongé, est perpendiculaire à (D)
Si j'appelle B le point où (D) est tangente à C', et O' le centre de C', on doit avoir O'A = O'B, avec (O'B) // (EF).
J'ai essayé de m'aider de la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle, que je connais, mais je n'avance plus.
Merci par avance pour votre aide.
salut
et si tu faisais un schéma à la main avec "un cercle qui convient" .... pour voir ce qui se passe et quelle propriété il a (lui ou son centre)
REM : il semble qu'il puisse y avoir deux cercles convenables :
l'un qui est à l'extérieur de C ("entre A et C")
l'autre contenant C
....
Bonjour pppa,
Il serait utile que tu te documentes sur l' inversion.
Pour info, on se ramène au cas de la construction d' un cercle tangent à une droite et passant par deux points.
Dans ton cas de figure, il y a 4 cercles solutions.
Je reviendrai vers toi si tu le désires quand tu auras potassé l' inversion et ses propriétés.
En attendant, une figure avec les 4 cercles en rouge:
on peut déjà chercher l'ensemble des cercles qui passe par A et :
a/ qui sont tangents à C
b/ qui sont tangents à D
l'intersection de ceux deux ensembles te donnera les centres des cercles convenables ....
a/ appelons I le centre d'un cercle tangent à C (et passant par A) et notons P le point de contact avec C alors IA = IP et I, Q et C sont alignés ....
b/ appelons J le centre d'un cercle tangent à D (et passant par A) et notons Q le point de contact avec D alors JA = JQ et (JQ) 
D
b/ cet ensemble est connu : c'est la parabole de foyer A et de directrice D ... 
Merci beaucoup pour vos réponses, graphiques et suggestions.
C'est parti pour étudier l'inversion
>> Carpediem : dans ta dernière réponse, au §a, je ne comprends pas pourquoi I, Q et C sont alignés ? N'y aurait-il pas une confusion de symboles ? Je pense que le Q de a/ n'est pas celui du § b/ ?
A plus tard
merci
C est le cercle de centre O ...
mais pardon mélange de points ...
on peut déjà chercher l'ensemble des cercles qui passe par A et :
a/ qui sont tangents à C
b/ qui sont tangents à D
l'intersection de ceux deux ensembles te donnera les centres des cercles convenables ....
a/ appelons I le centre d'un cercle tangent à C (et passant par A) et notons P le point de contact avec C alors IA = IP et I, P et O sont alignés ....
b/ appelons J le centre d'un cercle tangent à D (et passant par A) et notons Q le point de contact avec D alors JA = JQ et (JQ)
D
b/ aide :: cet ensemble est connu : c'est la parabole de foyer A et de directrice D ...
a/ aide :: l'ensemble est aussi une parabole d'axe de symétrie la droite (AO) ...
Bonjour,
on peut ...
mais aussi sans inversion et sans intersection de coniques :
1ère astuce :
comme le dit lake, se ramener au cas Point-Point-Droite en cherchant un second point du cercle cherché.
pour cela on peut, à défaut d'inversion, considérer que le cercle C donné et le cercle cherché se déduisent l'un de l'autre par une homothétie de centre leur point de contact S
des considérations sur les conditions de cocyclicité de points (angles droits en S et H, puis puissance de E) donnent la construction de A'
la figure clé :
on y retrouve des éléments de celle de lake, mais sans inversion.
2ème astuce : une fois le problème ramené au cas PPD avec deux points A et A' on considère la puissance de I, intersection de la droite donnée avec (AA') pour construire T
erratum : avec ma figure c'est puissance de F, pas de E
(en échangeant E et F on obtient l'autre paire de solutions)
Merci aussi à Mathafou qui me fournit une piste intéressante, apparemment la plus simple à utiliser en l'état actuel de mes connaissances sur le sujet.
Je vous tiens informés.
Bonne soirée, et encore merci à vous trois pour le temps passé et l'intérêt porté au sujet.
>> Mathafou (ou les autres que je salue aussi) même si pour l'instant je cherche sur la piste suggérée par Mathafou (qui me semble la plus proche du cours à partir duquel cette construction est demandée {seconde technologique, années 70)
Soit C1 le cercle cherché, de centre 
, et S le point de tangence des 2 cercles C et C1.
L'alignement de , S et O s'établit aisément, on en déduit qu'il existe une homothétie h de centre S, de rapport strict négatif k, telle que h(O) = , soit .
De par les propriétés de l'homothétie dans le plan, j'en déduis facilement que T est le point de tangence de C1 avec (D), mais pour autant je ne sais pas comment situer S, donc calculer k.
L'alignement de F, S et T ayant été établi, je peux poser l'existence d'un point A' de C1 tel que , de par les propriétés de la puissance de F par rapport au cercle C1, mais comment positionner un des autres points de C1, sachant que seul A est connu, les autres se déduisant de l'existence de h dont on ne connait qu'un rapport littéral k ?
Je suis bloqué là pour l'instant pour la construction du cercle cherché. J'ai bien noté que Mathafou mentionne des éléments d'orthogonalité et de cocyclicité, mais je ne vois pas comment les prendre en compte.
Merci pour votre aide.
La construction de mathafou est économique: on peut effectivement se passer de l' inversion:
Les points sont cocycliques. (Les angles droits en
et
)
Donc (Puissance de
par rapport au cercle vert)
est le second point d' intersection de
avec le cercle cherché.
(puissance de
par rapport au cercle cherché)
Les points sont cocycliques. (Le cercle noir).
On construit donc point du cercle cherché, intersection de
avec le cercle
On est ramené à déterminer un cercle tangent à une droite donnée et passant par deux points et
est l' intersection de
avec
est un point de contact d' une tangente au cercle noir issue de
(Puissance de
par rapport au cercle noir).
(Puissance de
par rapport au cercle cherché).
Donc
Il reste donc à construire le point (facile) puis de tracer le cercle de centre
et de rayon
qui recoupe la droite
en deux points
et
Deux cercles solutions sont les cercles et
En recommençant la construction en partant du point (au lieu de
), tu trouveras les deux autres cercles (avec un nouveau point
en lieu et place de
)
Au reste, que ça ne t' empêche pas de te pencher sur l' inversion; c' est une transformation quifait des miracles...
>> Lake Merci beaucoup Pierre, j'ai (presque) tout compris. Ce qui est cocasse, c'est que le seul point qui demeure obscur après avoir appliqué tes explications, c'est le seul de ta réponse que tu qualifies de facile.
Comment construis-tu le point U sachant qu'il est le point de tangence avec une droite passant par I - connu - et un cercle dont certes on connait 4 points, mais aucun diamètre non plus que son centre?
Bien sûr géogébra sait le faire, mais sans géogébra, comment le déterminer à partir de ce qu'on a établi ? Pardon si je passe à côté de qqc d'évident, mais franchement je ne vois pas
Dès que je finalise ce cas, j'étudie l'inversion, j'ai trouvé un chapitre qui lui est consacrée.
A te lire, merci par avance pour ta réponse.
Bien sûr, il faut déterminer le centre du cercle noir (je l' ai appelé dans la figure suivante), par exemple avec le points de concours de 2 médiatrices des côtés d' un triangle inscrit (
?)
Ensuite voici:
il manque juste un tout tout petit détail dans ce qui a été dit : la preuve formelle que T, S et F sont alignés (sinon la puissance ... bof)
preuve (noms de points de ma figure) :
l'existence de l'homothétie et le fait que ΩT et OF sont parallèles (car perpendiculaires à (D))
les points T et F se correspondent donc dans cette homothétie et donc T, S et F alignés.
c'est exclusivement à ça que sert cette homothétie.
tout le reste a été dit.
en ce qui concerne l'inversion elle a son utilité quasi obligatoire dans le problème "presque pareil" :
tracer les cercles tangents à deux cercles donnés et passant par un point donné.
(c'est à dire qu'on a remplacé la droite D donnée ici par un deuxième cercle donné)
(et d'autres innombrables problèmes de cercles tangents)
l'ensemble des 10 problèmes "d'Apollonius" (de Perge) :
tracer les cercles "tangents" à 3 "objets" parmi points, droites et cercles (tangent à un point = passant par)
ici on a résolu deux d'entre eux le cas Point-Droite-Cercle demandé
et au passage on l'a ramené au cas Point-Point-Droite
le cas Point-Cercle-Cercle est intéressant car comme dit, il nécessite quasiment l'usage de l'inversion et de ses propriétés.
Le truc est de choisir une inversion qui échange les deux cercles donnés et donc conserve le cercle cherché.
(une homothétie modifierait le cercle cherché et ne permettrait pas de conclure grand chose sur les points de contact, on peut tout de même s'en sortir sans inversion, mais cela revient très exactement à redémontrer des propriétés de l'inversion)
PS pour carpediem et son idée de paraboles :
l'ensemble des centres des cercles tangents à une droite et à un cercle est formé de deux paraboles :
la démonstration sans calcul consiste à se ramener aux cercles passant par un point et tangents à une droite donnée.
soit Ω le centre d'un cercle cherché (c), tangent à (&Gamma donné de centre O et de rayon R
si on augmente (si les cercles sont tangents extérieurement) ou diminue (s'ils le sont intérieurement) le rayon de (c) de R, ce nouveau cercle passe par O
et il est tangent à une droite fixe qui est à la distance R de (D), dans un sens ou dans l'autre
et c'est quasiment terminé vu qu'on connait le lieu des centres des cercles tangents à une droite donnée et passant par O
chacun aura compris la transformation intempestive de point virgule parenthèse en smiley et lira (Γ)
merci mathafou pour toutes ces explications ...
effectivement dans un cas le cercle initial C est extérieur aux cercles tangents à C et à la droite D, dans l'autre cas C est intérieur ...
et comme le lieu des cercles tangents au point A et à la droite D est aussi une parabole on trouve bien en faisant l'intersection (au plus) quatre solutions ....
je dois dire que je suis un peu dépassé maintenant niveau géométrie et j'apprécie toujours tes interventions ... même si je dois accepter pour une grande part tes propos ...
Bonjour Mathafou, bonjour à Pierre et Carpediem.
Merci pour ces précisions et les liens avec les coniques évoquées par Carpediem. Je veux juste revenir sur l'homothétie dont tu nous as suggéré l'idée, et qui aura été pour moi la clef d'une résolution relativement simple de ce problème de construction.
il manque juste un tout tout petit détail dans ce qui a été dit : la preuve formelle que T, S et F sont alignés (sinon la puissance ... bof)
preuve (noms de points de ma figure) :
l'existence de l'homothétie et le fait que ΩT et OF sont parallèles (car perpendiculaires à (D))
les points T et F se correspondent donc dans cette homothétie et donc T, S et F alignés.
c'est exclusivement à ça que sert cette homothétie.
tout le reste a été dit.
Le raisonnement que j'ai tenu part d'un premier constat empirique par rapport à ce qui est demandé.
Il existe (de visu, et on cherche) un cercle tangent extérieurement au cercle donné et à la droite donnée ; donc leurs centres respectifs sont alignés, le point de tangence étant situé entre ces deux centres. Donc il existe une homothétie de rapport strict négatif qui transforme le centre du cercle donné en le centre du cercle à construire.
Puisque l'image ,par une homothétie, d'un cercle est un autre cercle, et que l'homothétie est de rapport négatif, le point haut (F) du cercle donné a pour image le point bas (T puis T1 ensuite) du cercle cherché par cette homothétie , donc (ayant appelé S ce point de tangence), F, S et T sont alignés, et T
(D), puisque c'est le point bas du cercle cherché. Le développement des calculs (dans lesquels l'intervention de la puissance d'un point par rapport à un cercle me semble incontournable si l'on emprunte cette voie de raisonnement) que Lake a détaillé établissent que deux points T ( T1 et T2) vérifient les conditions.
Ensuite et enfin
Il existe (de visu, et on cherche) un cercle tangent intérieurement au cercle donné et à la droite donnée ; donc leurs centres respectifs sont alignés, le point de tangence étant situé à l'extérieur des deux centres. Donc il existe une homothétie de rapport strict positif qui transforme le centre du cercle donné en le centre d'un nouveau cercle à construire.
Puisque l'image ,par une homothétie, d'un cercle est un autre cercle, et que l'homothétie est de rapport positif, le point bas (E) du cercle donné a pour image le point bas (T3) du cercle cherché par cette homothétie , donc (ayant appelé S' ce point de tangence), E, S' et T3 sont alignés, et T3
(D), puisque c'est le point bas du cercle cherché. Le développement des calculs (dans lesquels l'intervention de la puissance d'un point par rapport à un cercle me semble incontournable si l'on emprunte cette voie de raisonnement) que Lake a détaillé établissent que deux points T ( T3 et T4) vérifient les conditions.
Bien sûr si vous constatez une faille dans le raisonnement, faites-le moi savoir.
En toute modestie et sincère humilité, car sans vous je n'y serais pas parvenu, ma construction définitive en employant les outils du cours associé à ce problème.
Mes plus vifs remerciements à vous trois pour le temps que vous m'avez consacré.
Les 4 cercles solution sont en rouge.
la démonstration de l'alignement est effectivement plus propre "dans l'autre sens" (le tien) que dans le mien, mais c'est pareil
selon la façon dont on défini T :
- comme étant le point homologue de F (donc F,S,T alignés par construction) et l'homothétie prouve alors que c'est le point de contact avec la droite (ton raisonnement
- ou comme point de contact et l'homothétie prouve alors que les points sont alignés (mon raisonnement)
la rédaction peut être formellement améliorée, mais tout y est. ("point haut" et "point bas" peuvent être rédigés formellement par des vecteurs orthogonaux à (D) etc)
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