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Construction de bijections

Posté par
Yona07 23-10-21 à 17:38

Bonjour!
Soient A, B , C et D quatre ensembles.

I) On suppose données une bijection f: AB et une bijection g: CD.

1) Construire une bijection entre \mathfrak{P}(A) et \mathfrak{P}(B).
2) On suppose que A\cap{C}=B \cap {D}=\phi. Construire une bijection entre A\cup{C} et B \cup {D}.
3) Construire une bijection entre A x C et B x D.
4) Construire une bijection entre Ac et BD.

II) Construire une bijection entre AB x C et (AB)C.

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Construction de bijections 23-10-21 à 17:49

salut

et alors ?

la réponse à 1/ est ici : Injection et surjection (caractérisation II) ... ainsi qu'aux questions 2/ et 3/

4/ se déduit de ce qui précède

et II se déduit de I

...

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 18:00

Salut carpediem!
Je suis en train de rédiger ce que j'ai fait. Je l'enverrai en qq minutes.

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 18:27

1) f est bijective donc l'application:

\Phi : \mathfrak{P}(A)\rightarrow \mathfrak{P}(B)\\ \; \;\; \;\; A|\rightarrow f(A)

est bijective.

2) f: AB est bijective, donc: AB (: équipotent).
De même g: CD est bijective, donc: CD.

(AC= BD=) ACBD.

Donc l'application:
h: ACBD définie par:
h(x)=\begin{cases} f(x) \text{ si }x\in A\\ g(x) \text{ si } x\in C \end{cases}
est une bijection.

Posté par
carpediemre : Construction de bijections 23-10-21 à 18:35

ok pour 1/

Yona07 @ 23-10-2021 à 18:27


2) f: AB est bijective, donc: AB (: équipotent).
De même g: CD est bijective, donc: CD.  ouais bof ... n'est guère nécessaire

(AC= BD=) ACBD.

Donc l'application:
h: ACBD définie par:
h(x)=\begin{cases} f(x) \text{ si }x\in A\\ g(x) \text{ si } x\in C \end{cases}
est une bijection.
mis peut-être montrer que h est effectivement une bijection est nécessaire !!

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 18:38

3) AB et CD, alors AxC BxD.

Ainsi, l'application:

\varphi : A\times C\rightarrow B\times D\\ \; \;\;\;\; (a;c)|\rightarrow (f(a);g(c))
est une bijection.

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 18:40

Je n'ai pas vu votre message (messages croisés). D'accord, je vais la démontrer.

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 18:43

Yona07 @ 23-10-2021 à 18:27


\Phi : \mathfrak{P}(A)\rightarrow \mathfrak{P}(B)\\ \; \;\; \;\; X|\rightarrow f(X)

Au lieu de A, je mets un X.

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 19:05

Concernant 2)
On montre que h est une bijection:

Soit x et y deux éléments de AC tels que: h(x)=h(y).
Alors h(x), h(y)B ou (exclusif) h(x), h(y) D (car BD=).
Ainsi:
Si h(x),h(y)B alors x, y A, donc f(x)=h(x)=h(y)=f(y). D'où x=y car f est bijective.
Si h(x), h(y) D alors x, y C, donc g(x)=h(x)=h(y)=g(y). D'où x=y car f est bijective.

Des deux cas: h est injective.

Soit yBD, donc yB ou (exclusif) yD.
Si yB, alors il existe x A tel que h(x)= f(x)=y.
Si y D, alors il existe x' C tel que h(x)=g(x)=y.

Dans les deux cas, qqsoit yBD, il existe x"AC, tel que h(x)=y.
D'où h est surjective.
??

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 19:20

Concernant 3, on montre que \varphi est une bijection.

Soient (a_1;c_1) et (a_2;c_2) deux éléments de AxC tels que h((a_1:c_1))=h((a_2;c_2)), c-à-d:
(f(a_1);g(c_1))=(f(a_2);g(c_2))

(f(a_1);g(c_1))=(f(a_2);g(c_2))\Leftrightarrow \begin{cases} f(a_1)=f(a_2) \\ g(c_1)=g(c_2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_1=a_2 \\ c_1=c_2 \end{cases} \text{ car f et g sont bijectives }

Ainsi:
(a_1;c_1)=(a_2;c_2)

D'où h est injective.

Soit (b;d) un élément qqconque de BxD. On a donc f-1(b) et g-1(d) sont bien définis respectivement sur A et C puisque f et g sont bijectives (la réciproque l'est également).

On a:
h((f^{-1}(b); g^{-1}(d))=(f(f^{-1}(b); g(g^{-1}(d))\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =(b;d)
Donc h est surjective.

Posté par
carpediemre : Construction de bijections 23-10-21 à 19:47

Yona07 @ 23-10-2021 à 19:05

Concernant 2)
On montre que h est une bijection:

Soit x et y deux éléments de AC tels que: h(x)=h(y).
Alors h(x), h(y)B ou (exclusif) h(x), h(y) D (car BD=).

Des deux cas: h est injective.
et pourquoi n'aurait-on pas h(x) dans B et h(y) dans D ?  (ou le contraire mais bon)


pour 3/ je noterai (x, y) et (u, v) les couples pour ne pas m'embêter avec des indices ...

pour la surjectivité ok ...mais bof la fonction inverse

soit (b, d) un élément de B x D

f est bijective de A sur B (donc surjective qui suffit même) donc il existe un (unique) a dans A tel que f(a) = b
et de même ...blablabla c dans C tel que f(c) = d

donc h(a, c) = (f(a), f(c)) = (b, d) et (a, c) est un (l'unique) antécédent de (b, d)

...

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 19:52

carpediem @ 23-10-2021 à 19:47


Et pourquoi n'aurait-on pas h(x) dans B et h(y) dans D ?  (ou le contraire mais bon)

Car BD= et h(x)=h(y).
Donc si h(x)B et h(y)D, alors h(x)h(y)...

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 23-10-21 à 19:56

carpediem @ 23-10-2021 à 19:47


f est bijective de A sur B (donc surjective qui suffit même) donc il existe un (unique) a dans A tel que f(a) = b
et de même ...blablabla c dans C tel que f(c) = d

donc h(a, c) = (f(a), f(c)) = (b, d) et (a, c) est un (l'unique) antécédent de (b, d)


C'est compris ^^.

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 24-10-21 à 11:06

Bonjour!

Concernant 4,  la bijection sera une application composée?

Posté par
carpediemre : Construction de bijections 24-10-21 à 11:20

oui ... et je t'invite à faire un graphique pour schématiser la situation ...

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 24-10-21 à 12:39

Puis-ja considérer une bijection de B vers C??

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 24-10-21 à 12:42

Je ne pense pas.. On ne sait pas si B éq C..

Posté par
carpediemre : Construction de bijections 24-10-21 à 13:21

que signifie AC ? BD ?

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 24-10-21 à 18:21

ACUn application définie sur C de valeurs dans  A .

Posté par
carpediemre : Construction de bijections 24-10-21 à 18:30

ok ... et as-tu fait un schéma ?

Posté par
Yona07re : Construction de bijections 25-10-21 à 08:50

Je l'ai fait mais j'en suis pas sûre. J'ai besoin d'une application définie dans D à images dans A..
g-1: Ch: Df:AB

Posté par
carpediemre : Construction de bijections 25-10-21 à 09:28

tu as le schéma suivant :

             u
C   --------- >  A



D  ---------->  B
              v

il est alors aisé de construire une bijection qui envoie u sur v  ou v sur u ....


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