Bonjour,

preuve de la constructibilité :

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étant donnés deux points A et B, une droite Δ et un point P sur Δ
la symétrie par rapport à P de points sur Δ définit une homographie (en fait même une involution) M ↔ M' sur cette droite
et donc une involution entre les faisceaux de droites A* et B* d ↔ d'
leur intersection K décrit donc une conique (théorème de Chasles-Steiner)



le problème posé est donc de construire les intersections de cette conique avec le cercle donné
or on connait deux des 4 points d'intersection du cercle et de la conique : les points A et B
l'équation du 4ème degré en ces points d'intersection est donc réduite à une équation, du second degré
CQFD.

quant à trouver une construction effective ne faisant pas intervenir ces considérations de géométrie projective,
c'est à dire du niveau Lycée, c'est une autre histoire ...
à suivre ...

avec Geogebra c'est facile :
on construit deux points K et K' de la conique à partir d'un point arbitrairer M et de son symétrique M'
la conique passant par A, B, P, K et K' (conique passant par 5 points de Geogebra)
et ses intersections avec le cercle (A, B déja connues, S et S' )
et c'est plié

j'en connais dès qui (sur un autre forum) insisteraient pour dire que c'est fini vu que la règle et le compas sont archaïques à l'ère des logiciels de constructions géométriques.

Bonsoir,
Cela me met l'eau à la bouche pour la géométrie que j'étudierai d'ici quelques années ...

pas sur ...
faut voir ce qu'il en reste dans les programmes.

Bonjour,
Un petit indice pour la méthode élémentaire (j'avoue avoir eu un peu de chance en la trouvant) :

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On suppose la figure construite. Soit A' le symétrique de A par rapport à P. Que dire de l'angle A'PB par rapport à AXB ?

Bonjour,

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Soit A' le symétrique de A par rapport au point P....

   trop tard.......; de plus je ne sais pas blanké

Bonjour,

c'est surtout que tu ne sais pas mettre une image dans le message et que tu laisses le site décider de là où il la met, c'est à dire à la fin totale de tout "en vrac"

la façon de faire : une fois l'image attachée (par le bouton Attacher)
on se place (on met le "carret", la petite barre qui clignote) là où on veut mettre l'image dans le texte
puis on clique sur l'image
et ça insère une balise [ img n ] là où on veut mettre l'image, en plein milieu du texte, ou à l'intérieur du blank....

(je n'ai pas retrouvé l'endroit où c'est expliqué dans la doc, c'est peut être bien dans un très vieux message du forum "site")

_blanker

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Conclusion
Une fois montrer la propriété  des angles  ,la construction de A'  celle du cercle  C'   réalisées
Si C' ne coupe pas [CD] , il n'y a de solution  ,
Si F est un point commun à  C' et [CD] , la droite (BF) recoupe le cercle C  en X
alors  
angle (FA',XA)=(FA',XB)-(XA,XB)=0  (mod π)
les  segments  (A'F ) et (AX) sont parallèles et comme P est le milieu de [AA'] ils sont symétriques par rapport au point   P
Le point X est alors solution  
On a donc deux une ou zéro  solution suivant que le cercle C' est sécant à [CD], tangent   ou ne le coupe pas

Bonjour,

--> mathafou : soit I le milieu de [AB], peut-on montrer géométriquement que les axes de l'hyperbole sont parallèles aux bissectrices de l'angle que font les droites (CD) et (PI) ?
Impressionné par votre post du 01/04/20 16:50 je suis allé sur votre site puis j'ai retrouvé l'hyperbole par le calcul, et je trouve cette propriété (sauf erreur dans mes calculs revérifiés sur Geogebra)
--> PLSVU : je n'arrive pas à suivre (retrouver) les propriétés que vous citez à partir de A' symétrique de A par rapport à P ...

Je viens d'ailleurs de m'apercevoir qu'il y avait une erreur dans mon indice, mes excuses

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AFB au lieu de APB !

je ne blanque plus puisque ces questions sont devenues annexes

pour les asymptotes, elles correspondent aux points à l'infini de la conique
(ce sont les tangentes à la conique en ces points à l'infini là)

lorsque M et M' sont à l'infini sur (CD)
et donc leur intersection aussi, M, M' et cette intersection sont confondus avec ce point à l'infini de (CD) et ce point là est donc un point à l'infini de la conique.
donc la direction de cette asymptote // (CD)

si AM' // BM mais non parallèle à (CD), leur intersection est aussi un point à l'infini de la conique
et donc l'asymptote parallèle à ces droites là
la parallèle en P à ces droites coupe [AB] en son milieu puisque P est le milieu de MM'

Voici quelques P et leur X correspondant.
Je cherchais un lieu géométrique par approches....(je sais c'est pas du géogébra ..)
Je ne comprends rien à la véritable construction

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dpi
"Je ne comprends rien à la véritable construction"
(pas la mienne bien sûr, hors sujet, mais celle "officielle " niveau lycée)
rassure toi , moi non plus telle qu'elle est exprimée. avec des angle toujours faux

la vraie explication à mon avis :

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les triangles roses sont isométrique (cas II d'égalité) donc l'angle XAA' = AA'F
d'autre part les angles inscrits XAZ et XBZ sont égaux
donc FA'Z = FBZ et les points B, F, Z, A' sont cocycliques

d'où la construction :
A' le symétrique de A par rapport à P
Z l'intersection de AA' avec le cercle donné
le cercle circonscrit à BZA' coupe [CD] en F, qui, donne E et X

Vham
P étant le milieu des segments [EF] et[ AA']  le quadrilatère [AEA'F] est un parallélogramme    
ce qui permet de montrer que les angles   (AXB) et (A'FB)   sont supplémentaires  . _{dans mon précédent message je nommais des angles de droite}
d' où le cercle C' qui dépend de la mesure de l'angle    (ACB  )   défini  par la corde [AB], et  du  point A'     défini par les points A et P donnés

Bonjour,

Autant je comprends le déroulement de la construction de mathafou
du 02-04-20 à 18:39 dont j'admire la simplicité  démonstrative (après avoir vu c'est simple !)
Autant je ne comprends pas le parachutage d'un point M sur la figure du 02-04-20 à 23:19.

Je crois avoir aussi compris pourquoi il peut n'y avoir aucune solution quand le cercle défini par les 3 points A', B et Z (intersection de la droite (AA') et du cercle donné au départ) ne recoupe pas la droite (CD) : La branche de l'hyperbole résultat de l'homographie (voir 01-04-20 à 16:50) qui passe par les points A et B ne recoupe pas non plus en 2 autres points réels le cercle donné .  

Je pense avoir une logique de construction:

Soit la figure de base  (cercle  avec deux cordes AB et CD avec
un point P sur BC.
On trace AA'  (A' symétrique de  A par rapport à P ).
on mesure l'angle ACB  soit .
on  trace un triangle isocèle de base A'B  et d'angle au sommet  O
2 .
Le cercle de centre O et de rayon OB  coupe la corde CD en F . La droite  BF coupe le cercle initial en X

vham

M est un point quelconque avec ∠BMA' = α
il sert à définir (avec les médiatrices tracées en pointillé) le centre ω du cercle, arc capable de l'angle α sur BA'

on peut faire autrement pour tracer cet arc capable sans point M

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la droite (A'B) recoupe le cercle en Z avec ∠AZB = α
la parallèle à (AZ) en A' est tangente au cercle cherché, son centre est donc l'intersection de la médiatrice de [A'B] et de la perpendiculaire en A' à (AZ)

Mon approche donnerait:

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tout à fait correct et parfaitement équivalent à ce qu'on a dit
le but est quoi qu'on fasse en détail de construire ce cercle là.
et il y a diverses façons de le faire.