Bonjour,

une façon de faire est de s'intéresser par exemple au point M, intersection de (AC) et ( A'B' )
en particulier au rapport dans lequel ce point M divise [A'B']

en fait il s'agit d'une application du théorème de Ménélaüs dans ABC et la sécante ( A'MB' ) puis dans AMA' et la sécante ( BCB' ) par exemple
ou de redémontrer ce théorème. (application de Thalès en rajoutant des parallèles qui vont bien au bon endroit, la démonstration de Ménélaüs étant un classique on peut rechercher comment elle est faite)

une fois qu'on a le point M la construction de ABC en découle facilement.

autre façon de faire : composition des homothéties
autre façon de faire : barycentres (qui est d'ailleurs une des démonstrations les plus directes de Ménélaüs !)

Bonjour !
Le théorème de Mélénaüs fait partie de ces joyaux de la géométrie :

Le souci est que ce théorème n'est pas abordé dans le secondaire...

une autre façon de faire sans Ménélaüs avec uniquement des notions de collège (droite des milieux, parallélogrammes)
P est défini comme le symétrique de C par rapport à M
et N par (BN) parallèle à (CM)

les théorèmes vus ou pas vus dans le secondaire sont ils d'actualité dans le supérieur ???
faut pas se tromper de niveau pour le forum dans lequel on poste ! au risque d'avoir des réponses inadaptées au niveau réel de la demande !

et puis il n'y a même pas besoin de P en fait
(c'est pour une autre question)

En effet, excusez-moi

Si j'ai bien compris, il faut commencer par fixer le point M. Il se situe aux 2/3 du point A'. La justification vient du fait qu'il se situe sur la droite (C'A) ?

en tout cas ma figure avec M et N se suffit à elle même, y a plus qu'à rédiger...

as tu lu MES définitions des points ????

c'est tout le contraire de ce que tu dis !!

on fixe M comme intersection de (on est dans la partie analyse) pas par un rapport encore inconnu !
et ensuite, via le point N défini par une parallèle et rien d'autre, il faut en déduire les valeurs des rapports.

pas le contraire !

le contraire c'est la partie synthèse. et c'est "quasiment tout fait" vu que les théorèmes employés ont des réciproques.

Ensuite on trace la parallèle à (C'M) passant par le milieux de [A'M]. On note N ce point d'intersection. On note également P le point d'intersection entre la parallèle à (C'M) et la droite (A'C').
On trace la parallèle à (A'B') passant par le point P. On obtient alors le point A qui se trouve à l'intersection de cette dernière droite et (C'M). En traçant [AA'], on a le point B. Puis en traçant [BB'], on a le point C.

Est-ce correct ?

Reprenons. On fixe M comme intersection de (AC) et (A'B'). N est défini par (BN) parallèle à (CM).

On peut appliquer le théorème de Thalès dans le triangle A'MA. On a alors : .

Là où j'ai des difficultés, c'est de savoir ce qu'on a le droit d'utiliser pour l'analyse. Ici, avec les rapports que j'ai donné, on ne sait pas encore que N est mileu de [A'M] ?

Par contre on sait que B est le milieu de [AA'], donc

ensuite de quoi ???
je ne comprends rien du tout à à la logique de ce que tu fais.

analyse : on suppose la figure réalisée, c'est ici facile en partant d'un triangle ABC quelconque et en construisant A'B'C' comme définis par l'énoncé.
et en construisant M comme j'ai dit (intersectipn)
puis N comme j'ai dit (parallèle)

cette partie analyse consiste à démontrer à partir de cette figure là que M et N sont au 1/3 de A'B'
où est cette démonstration ? c'est le coeur même de l'exercice !!!

la conclusion de cette analyse est que inversement si on connait A'B'C', on peut construire M directement au 1/3 de A'B' et alors on sait que A et C sont sur la droite C'M
ce qui est le point de départ de la construction

redite : MON point P ne sert à rien du tout, si on veut le faire intervenir quand même il faut dans la partie analyse démontrer des propriétés de ce point en l'ayant dans cette partie analyse construit comme j'ai dit.
et où est cette démonstration ?

TON point P est faux (ne permet pas de construire ABC du tout)

de toute façon où sont les démonstrations des éventuelles propriétés de ton point P ?? nulle part ! (vu que celle que tu utilises, que PA' serait parallèle à A'B', est fausse ...)

les maths c'est pas de la devinette en traçant des trucs au hasard en prenant ses désirs pour des réalités ni des vessies pour des lanternes
c'est avant tout basé sur des démonstrations.

bon entre temps tu as commencé la démonstration attendue... (messages croisés)

oui

et oui

donc et donc N est le milieu de AM

faire pareil dans BB'N

D'accord, donc si je continue :

En faisant la même chose dans le triangle BB'N, on a :



Or

Donc , d'où M est le milieu de [B'N].

On a alors : A'N=NM et NM=MB', donc A'N=NM=MB'. Donc maintenant on peut affirmer que N est situé à 1/3 de A' et M à 1/3 de B'.

Je suppose qu'il faut faire la même chose sur les deux autres côtés du triangle A'B'C' ?

si on veut ...
ce qui est important ici est que l'on vient de prouver que (= synthèse) :
inversement A et C sont sur la droite (C'M), M étant construit désormais directement par B'M = 1/3 B'A'
ce n'est que de la reformulation de ce qu'on vient de prouver !!

on peut ensuite donc dire "de même" A et B sont sur la droite A'R , avec R construit comme C'R = 1/3 C'B'
et cela donne A etc.

une autre façon de faire est de poursuivre avec Thalès sans créer de nouveaux points et d'obtenir le rapport MC/MA d'où on tire immédiatement MC/MC'
ce qui permet de construire directement C etc

Très bien, je vais donc essayer de rédiger tout ça au propre.

Merci à vous !

grrr
je retape (touche parasite ayant détruit le baratin que j'avais commencé par changement total de site, je dois TOUT retaper)

Oui, tu n'as plus qu'à rédiger.

ceci dit je voulais d'ores et déja (car je dois bientôt quitter) rappeler que

Bonjour,
plus aucune réponses ... ??
je précise donc que ma figure du 17-06-19 à 16:59 est une construction effective (qui peut se généraliser sans aucun calcul à un polygone quelconque)
et d'ailleurs ne nécessite aucun calcul, que du pur raisonnement (celui que j'ai donné)
le seul calcul étant que une puissance de 2 est différente de 1 !!
(pour justifier que le produit d'homothéties est une homothétie)

changeons un peu les notations pour généraliser directement à un nombre de sommets quelconque.
soit un polygone A₁A₂A₃...A_n
et A'₁ symétrique de A₁ par rapport à A₂ etc cycliquement
étant donné A'₁A'₂A'₃...A'_n reconstruire A₁A₂A₃...A_n



On choisit un point arbitraire M₀
On construit les milieux successifs M₁ milieu de A'₁M₀
M₂ milieu de A'₂M₁ etc
on construit les centres d'homothétie successifs J_k comme intersection de J_k-1A'_k et M₀M_k
en effet le produit de l'homothétie de centre J_k-1 et de l'homothétie de centre A'_k de rapport 1/2
a pour centre J_k un point de J_k-1A'_k
et M₀, M_k et J_k sont alignés
J₁ = A'₁ centre de la première homothétie

le dernier centre d'homothétie ainsi construit est le point A₁ cherché
les autres sommets se construisent alors comme milieux :
A₂ milieu de A₁A'₁
A₃ milieu de A₂A'₂ .... etc jusqu'au dernier

la figure illustre le cas n = 4
un "tour" de plus donne la construction pour le pentagone suggéré dans le message précédent.
un tour de moins (n = 3) donne une construction pour le triangle, différente de celle obtenue par les calculs avec Thalès. mais qui bien entendu donne le même résultat (c'est la figure du message d'avant : A =J, B milieu de AA' etc)

Bonjour,

Excusez-moi de cette réponse tardive,  mais je n'ai pas reçu la notification par mail de vos dernières réponses... J'ai donc lu attentivement vos deux derniers messages. La résolution par les homothéties est pas mal, il faut que je pose bien les choses pour comprendre l'ensemble de la démarche.

Merci beaucoup !

une autre façon encore est par les vecteurs

puis Chasles pour faire intervenir etc
on obtient alors au final un truc du genre une somme pondérée des vecteurs avec rien que les points "prime" permettant de construire A
une fois qu'on a un des sommets de ABC, les autres s'en déduisent immédiatement.

on peut enfin faire pareil avec une rédaction par les barycentres pour obtenir A = Bar (A', ...)