bonsoir, dans ton triangle BIC, tu connais BC=6 et IC=3
pour connaitre BI, tu utilise pythagore car tu a surement remarqué que (BI) coupe (AC) en I perpendiculairement(c'est une des propriétés des médianes dans un triangle équilatéral)
donc BC²=BI²+IC²
BI²=36-9=27 d'où BI
ENSUITE pour l'aire , c'est la formule:côté*côté(de la base du triangle rectangle)/2
voila

Tu peux poser M le point d'intersection de (BI) et (AJ)(2 médianes)
MJ  est ce que tu cherche
tu calcule d'abord AJ:avec pythagore:AJ²+JB²=AB²
PUIS  tu dis que M est en fait le centre de gravité du triangle donc il se situe aux 2/3 de chaque médiane(en partant du sommet)
donc MJ=1/3*AJ

excuse moi je viens de me rendre compte que ma piste est mauvaise!!!!!
Dans mon explication (MJ)doit couper  perpendiculairement (BI)
DESOLE!!!

tu peux peut être utiliser les définitions des cosinus et sinus sachant que tous les angles du triangle équilatéral sont de 60 degré

    Bonsoir. Tu dois connaître la mesure de la hauteur dans un triangle rectangle , non ?
Si le côté est a, la hauteur vaut: a*Rac.de3 /2  = (ici) 3* rac.de3

Le côté IC vaut a/2 . Donc l'aire du triangle BIC est:
     A = 1/2*Base*Hauteur = 1/2* a/2 * a Racde3 /2
       =    9 * Racinede 3 /2

Comme cette aire peut être également calculée en prenant BC comme base, et JI comme hauteur, on aura :
     A = 1/2 * a * IJ = 2 * Aire / a
On trouve :  IJ = 3 Racinede3 /2   ... forcément, puisque IJ est égal à la demi hauteur du triangle équilatéral !    
    Et pas besoin de cosinus ...  J-L

Salut à tous,

Merci à ZAZA la frite et Jacqlouis pour votre aide
Vous êtes SUPER !