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Continuité d'une fonction numérique

Posté par
Mathes1 08-10-20 à 22:00

Bonjour à tous,
J'ai un exercice de maths merci beaucoup d'avance
J'ai pas compris l'énoncé , si vous voulez me donner une petite indication s'il vous plaît
Soit f la fonction numérique définie sur R par
f(x)=\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x};x>0
f(x)=\dfrac{cos(x)+sin(x)-1}{4x};x<0
f(0)=\dfrac{1}{4}
Montrer que la fonction f est continue en 0
hypothèse
Est ce que je vais calculer la limite à droite en utilisant la 1er fonction
Et la limite à gauche en utilisant la 2nd fonction
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:04

salut, qui ne tente rien ne se trompe qu'une fois. Suis ta voie !

Posté par
LeHiboure : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:05

Bonsoir,

Effectivement, tu dois montrer que la limite de la 1ère fonction en 0+, la limite de la 2ème fonction en 0-, et la valeur qui t'est donnée de f en 0 dont égales.

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:15

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
Alors
\lim_{x\to 0_+} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0_+}\dfrac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x[\sqrt{x+4}+2]}=\dfrac{1}{4}
\lim_{x\to 0_-}\dfrac{cos( x)+sin(x)-1 }{4x}
Une petite indication pour calculer cette limite s'ils vous plaît merci beaucoup

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:20

taux d'accroissement ?

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:22

Oui j'ai utilisé le taux d'accroissement dans la 1er limite , mais la 2ème je ne sais pas comment faire , une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:25

tu n'as pas utilise le taux dans la premiere limite
fais le dans la seconde

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:43

Franchement , je ne sais pas comment faire

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:54

sais tu ce qu'est un taux d'accroissement ?

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 22:59

Taux d'accroissement :
\lim_{x\to 0_-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 23:01

oui mais ici ce n'est pas f c'est x->cos(x)+sin(x)-1

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 23:14

On utilisant la règle de l'hôpital
\lim_{x\to 0_-}\dfrac{-sin( x )+cos(x)}{4}=\dfrac{1}{4}
J'ai aucune idée pour le taux d'accroissement

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 08-10-20 à 23:18

pas d'hopital en terminale !
soit g(x)=cos(x)+sin(x)-1
g(0)=0
donc la limite de (g(x)-g(0))/(x-0) est g'(0)=??

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 09-10-20 à 08:44

Bonjour
Et aussi ici est difficile de trouver la limite paisiblement
(g(x)-g(0))/(x-0) =[cos x+sin x-1]/[x]
On ne trouve pas 1/4 ; mais 1

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 09-10-20 à 14:07

il y a 4x au denominateur

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 09-10-20 à 16:28

Bonjour,
D'accord merci beaucoup
[cos x+sin x-1]/[4x]
\lim_{x\to 0_-}\dfrac{cos (x)+sin(x)-1}{4x}=\dfrac{1}{4}
Mais je ne sais pas comment faire montrer pour la méthode classique
Merci beaucoup de m'avoir donné une petite indication pour pouvoir le faire
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 09-10-20 à 17:37

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 09-10-20 à 18:31

Bon, après une longue souffrance j'ai trouvé
\lim_{x\to 0_-}\dfrac{cos (x)+sin(x)-1}{4x}=\dfrac{(cos(x)+sin(x)-1)(cos(x)+sin(x)+1)}{4x(cos(x)+sin(x)+1)}=\dfrac{sin(2 x)}{4x(cos(x)+sin(x)+1)}=\dfrac{sin(2x)}{4x}×\dfrac{1}{cos(x)+sin(x)+1}
Ensuite ;
\lim_{x\to 0_-}\dfrac{sin(2x)}{4x}=\dfrac{sin(2x)}{2x}×\dfrac{2x}{4x}=1×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
Et
\lim_{x\to 0_-}\dfrac{1}{cos(x)+sin(x)+1}=\dfrac{1}{2}
Et par suite :
\boxed{\lim_{x\to 0_-}\dfrac{cos(x)+sin(x)-1}{4x}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}}

Posté par
alb12re : Continuité d'une fonction numérique 09-10-20 à 19:10

excellent ! bravo !
premiere ligne ne pas ecrire lim (c'est un calcul sur une expression)
deuxieme ligne mal redigee (melange de limite et d'expression)
partout au lieu de limite en 0- tu peux mettre limite en 0

Posté par
Mathes1re : Continuité d'une fonction numérique 09-10-20 à 19:25

D'accord merci beaucoup
Conclusion :
Puisque \boxed{{\color{red}{\huge \lim_{x\to 0_+}f=\lim_{x\to 0_-}f=f(0)=\dfrac{1}{4}}}}}
Par conséquent f est continue en 0


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