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Continuité d'une fonction sur R

Posté par
nina94
09-10-16 à 12:25

Bonjour à tous,

On considère la fonction définie sur R et périodique de période T égale à 1, définie par:

f(x)= x   ; x[0,1/2]
f(x) = 1-x   ; x ]1/2, 1]

1) Montrer que la fonction est continue sur R
2) Déterminer f(R)


Pour la première question, il est évident que f est continue sur [0,1], et vu qu'elle est périodique, on peut déduire qu'elle est continue sur tout intervalle d'amplitude 1. Mais mon prof de maths m'a dit que ce n'est pas suffisant, et qu'il faut le montrer "mathématiquement" .

Pour la deuxième question, quand j'imagine le graph, je crois que f(R)= f([0,1]), mais là aussi j'arrive pas à le démontrer.

Merci pour votre aide !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 12:30

il faut que tu montres qu'aux points de raccordement les expressions donnent la même chose. donc que f(0) et f(1) = 0 et puis que f(1/2) fournit la même valeur.

pour la deuxième question, f(R)= f([0,1] ne donne pas la réponse. il faut que tu donnes l'intervalle image.
la fonction est périodique donc il suffit d'étudier l'image d'une seule période donc de terminer f([0,1], mais c'est égal à quoi ?

Posté par
nina94
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 12:40

Merci pour ta réponse,
on a f(1/2) = 1/2 , différent de f(0) et f(1) ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 12:54

Citation :
f(1/2) = 1/2 , différent de f(0) et f(1)

ça c'est pas grave, ça n'est qu'aux points de raccordement qu'elles doivent être égales.
Continuité d\'une fonction sur R

Alors cette image de , c'est quoi ?

Posté par
nina94
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 14:51

[0,1/2] ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 15:02

oui

Posté par
nina94
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 15:02

Mais ma question est: est-ce qu'il suffit de mentionner que f est périodique pour aboutir à ces conclusions? N'y a-t-il pas de démonstrations à faire ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 15:08

le fait que la fonction soit périodique permet de se restreindre à l'étude de la fonction sur [0;1] parce que pour tous les autres points de l'axe ils donneront la même image que l'un des points de [0;1]

Après il faut montrer que l'image de [0;1] donne [0;1/2] et là tu peux faire une petite justification en disant que les portions de droite y=x et y=1-x sont des fonctions continues monotones croissantes et décroissantes et donc que tous les points entre f(0) et f(1/2) seront atteints c.a.d tous les points de [0;1/2]

Posté par
nina94
re : Continuité d'une fonction sur R 09-10-16 à 15:21

D'accord c clair, merci beaucoup glapion !



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