Niveau Lycéen curieux

Continuité de x^2 par epsilon delta

Posté par
giligef 23-09-24 à 14:34

Hello,

Je révise les fondamentaux de mathématiques et je suis turlupiné par une définition:

Avec la méthode $$$ \epsilon - \delta$ la continuité de $$$f(x)=x^2$ est garantie en choisissant $$$ \delta = min(1, \frac{\epsilon }{1+2 \mid c \mid})$

A partir de $$$\delta = \frac{\epsilon }{1+2 \mid c \mid}$ on voit que $$$\delta \leq \epsilon$ , or pour $$$x \in (0,1)$ , la variation de x ( $\delta$ ) est supérieure à la variation de y () et cette inégalité ne devrait pas tenir.

Comment interpréter cela?

Merci d'avance

Posté par re : Continuité de x^2 par epsilon delta 23-09-24 à 16:45

salut

qui est c ?

la fonction carrée est continue donc quel que soit le réel a on peut montrer que quel que soit $\varepsilon$ , il existe $\delta$ tel que $|x - a| \le \delta \Longrightarrow |f(x) - f(a)| = |x^2 - a^2| \le \epsilon$

seulement comme tu le remarques il y a une différence entre avant 1 et après 1, c'est pourquoi la donnée de $\delta$ s'obtient par un min ...

mais que la variation de y soit supérieure ou non à celle de x il existe toujours un réel $\delta$

essaie avec des valeurs numériques : a = 0,5 et a = 1,5 ...

malou edit > latex réparé

Posté par re : Continuité de x^2 par epsilon delta 23-09-24 à 17:29

Merci pour la réponse, mon c est ton a.

En prenant l'exemple numérique, j'ai $$$\delta=min(1, \frac{\epsilon}{2})$ pour a=0.5 et $$$\delta=min(1, \frac{\epsilon}{4})$ pour c + 1,5.

Mais l'inégalité suppose toujours $\delta \leq \epsilon$ , impossible sur l'intervalle (0,1) donc je suppose qu'on préfères $\delta = 1$ mais je ne comprends pas une expression de delta indépendante de epsilon dans cette preuve.

Posté par re : Continuité de x^2 par epsilon delta 23-09-24 à 18:02

Bonsoir giligef.
La valeur de $\delta$ n'est pas indépendante de celle de $\varepsilon$ .
Ce qui semble te déranger est qu'elle n'est pas optimale.
Mais ce n'est pas grave : comme le dit carpediem, que je salue, il suffit de trouver une valeur de $\delta$ qui convienne ,même si de plus grandes valeurs conviendraient aussi.

Par exemple en prenant c=0 et $\varepsilon=1/4$ la plus grande valeur qui convient est $\delta=1/2$ et la formule donne $\delta=1/4$ mais on a bien $|x|<1/4\Rightarrow |x^2|<1/4$

Posté par re : Continuité de x^2 par epsilon delta 24-09-24 à 23:12

Merci à vous deux, c'est noble d'aider son prochain.

@Verduin j'ai toujours les incompréhensions suivantes:

verdurin @ 23-09-2024 à 18:02

Par exemple en prenant c=0 et $\varepsilon=1/4$ la plus grande valeur qui convient est $\delta=1/2$ et la formule donne $\delta=1/4$ mais on a bien $|x|<1/4\Rightarrow |x^2|<1/4$

Dans cet exemple, depuis $f(0)=0^2$ quand $\epsilon = \frac{1}{4}$ , je ne comprends pas comment $\delta$ peût être différent de $\frac{1}{4}$ , d'autant plus que votre $|x^2|<1/4$ n'est autre que la définition de $\epsilon = |x^2-0^2| = \frac{1}{4}$

Posté par re : Continuité de x^2 par epsilon delta 25-09-24 à 22:13

J'ai effectivement pris $\varepsilon=\frac14.$
On peut remarquer que $\lvert x\rvert<\frac12\Rightarrow |x^2|<\frac14.$