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Continuité de f_n en x_0

Posté par
Nijiro
13-10-20 à 09:26

Bonne matinée!

Soit n*.On considère la fonction fn définie par:
\begin{cases} f_n(x)=\frac{(2-x)^n-a}{x-2} & \text{ si } x<2 \\ f_n(x)=\frac{3x+b}{4} & \text{ si } x\geq 2 \end{cases}
où (a;b)2.

Déterminer a et b pour que fn soit continue en 2.

Je vais montrer ma résolution et expliquer le problème dans le message suivant.
Merci d'avance!

Posté par
Nijiro
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 09:50

Pour que fn soit continue en 2, il faut qu'elle soit à la fois continue à gauche et à droite en 2.
On a: f_n(2)=\frac{6+b}{4}.

*Etudions la continuité de fn à droite en 2:
\lim_{x\rightarrow 2^+}f_n(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{3x+b}{4}=\frac{6+b}{4}=f_n(2)
Donc, fn est continue à droite en 2.

*Etudions la continuité de f à gauche en 2:
\lim_{x\rightarrow 2^-}f_n(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{(3-x)^n-a}{x-2}
D'ailleurs:
\begin{cases} \lim_{x\rightarrow 2^-}((3-x)^n-a)=1^n-a=1-a \\ \lim_{x\rightarrow 2^-}x-2=0^- \end{cases}
Alors, si a1, fn admettra une limite infinie à gauche en 2, ce qui est invalable pour que f soit continue à gauche en 2. Par suite, a=1.
Du coup:
\lim_{x\rightarrow 2^-}f_n(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{(3-x)^n-1}{x-2}= \lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{(3-x-1)\sum_{k=0}^{n-1}{(3-x)^k}}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}-\sum_{k=0}^{n-1}{(3-x)^k}=-\sum_{k=0}^{n-1}{(3-2)^k}=\sum_{k=0}^{n-1}{1^k}=-n*- car n*.

Pour que fn soit continue à gauche en 2, il faut que \lim_{x\rightarrow 2^-}f_n(x)=f_n(2)\Leftrightarrow -n=\frac{6+b}{4}
c-à-d: b=-4n-6=-2(2n+3)
Là je me trompe ^-^'. Est ce qu'il faut que je détermine b en fonction de n ou dire que
\frac{6+b}{4}-*, donc 4 divise 6+b et 6+b<0 et déterminer b à travers ceci? C'est en fonction de n, n'est ce pas?

Posté par
Nijiro
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 09:52

Désolée, il y a une erreur dans l'énoncé du problème:
La fonction fn est définie par:
\begin{cases} f_n(x)=\frac{(3-x)^n-a}{x-2} & \text{ si } x<2 \\ f_n(x)=\frac{3x+b}{4} & \text{ si } x\geq 2 \end{cases}
où (a;b)2.

Posté par
larrech
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 10:21

Bonjour,

Pourquoi faudrait-il que (6+b)/4 soit dans * ?

Posté par
Nijiro
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 10:40

Parce que \frac{6+b}{4}=-n et -n *- comme n*. Non?

Posté par
Nijiro
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 10:44

c'est -* (vous n'avez pas pu peut-être apercevoir le "-" puisqu'il est loin du symbole de l'ensemble?)

Posté par
larrech
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 11:18

La question n'a pas lieu d'être puisque en résolvant l'équation, tu calcules b pour que justement  (6+b)/4=-n,  qui est bien un entier négatif.

Posté par
Nijiro
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 12:05

Comme vous avez dit: \frac{6+b}{4} est un entier négatif.
Alors 4 divise 6+b et 6+b est négatif, c-à-d que 6+b=4k avec k-*, donc b= 4k-6=2(2k-3) avec k-*.
Donc b n'est pas déterminé en fonction de n??

Posté par
larrech
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 12:14

On tourne en rond là...

Mais admettons. b=2(2k-3), ok.
On reporte dans l'équation 6+b=-4n et l'on obtient que nécessairement k=-n.
D'où b=-2(2n+3)

et c'est terminé.

Posté par
Nijiro
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 12:44

Nijiro @ 13-10-2020 à 09:50


Pour que fn soit continue à gauche en 2, il faut que \lim_{x\rightarrow 2^-}f_n(x)=f_n(2)\Leftrightarrow -n=\frac{6+b}{4}
c-à-d: b=-4n-6=-2(2n+3)

Effectivement. Merci énormément ^-^!

Posté par
larrech
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 12:48

De rien.

Posté par
alb12
re : Continuité de f_n en x_0 13-10-20 à 16:35

salut,
deux remarques que je t'ai faites dans un autre post:
1/ ne mets pas le symbole lim dans tes calculs
2/ la limite de x->((3-x)^n-1)/(x-2) en 2 est le nombre derive de x->(3-x)^n-1 en 2



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