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Niveau Licence Maths 1e ann
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Continuité, différentiabilité

Posté par
Darkingami
03-01-18 à 14:51

Bonjour et bonne année,
N'ayant pas de correction, je me permets de poster ici un exercice d'annale dont l'énoncé est le suivant :

Soit f(x,y)=\begin{cases} \frac{y}{x} e^{-\frac{x^2}{y^2}}& \text{ si } xy\neq 0 \\ 0 & \text{ sinon} \end{cases}

1. Dire en quels points de R²la fonction est continue.
2. Dire en quels points de R² les dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\: et\:\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)existent.
3. Dire en quels points de R² la fonction f est différentiable et donner sa différentielle
en ces points.
4. Trouver l'ouvert maximal où f est de classe C1.

Ma rédaction :
1. La fonction est continue pour xy différent de 0 car c'est une composée de fonctions continues sur cet espace.
\lim_{x\rightarrow 0}f(x,y_{0})-f(0,y_{0})\neq 0 (c'est en valeur absolue mais je n'ai pas trouvé la commande Latex)
\lim_{y\rightarrow 0}f(x_{0},y)-f(x_{0},0)=0
Donc la fonction est continue sur R*xR

2. Les dérivées partielles existent pour tout xy différent de 0 car composée de fonctions différentiables sur cet espace

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}=0
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,h)-f(x,0)}{h}=0

donc les dérivées partielles aux points (x,0) existent et valent 0.

3. sur R* x R  :
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases} e^{\frac{-x^2}{y^2}}(\frac{-y}{x^2}-\frac{2}{y}) & \text{ si } y\neq 0 \\ 0& \text{ sinon } \end{cases}
on applique la même méthode qu'à la question 1 pour prouver la continuité de la dérivée partielle.

Et on répète la même méthode pour \frac{\partial f}{\partial y}
On obtient que les deux dérivées partielles sont continues.
Donc f est C1 sur R* x R donc elle est différentiable sur cet espace.
Sa différentielle est donc J_{f (x,y)}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{pmatrix} sur cet espace.

4. Ainsi elle est C1 sur R* x R.

La méthode est elle correcte et rigoureuse ? Merci d'avance et bonnes vacances

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