Bonjour

Ce n'est pas vrai! Si muni de sa topologie habituelle, définie par est bien un homéomorphisme, est bien uniformément continue, mais ne l'est pas!

Ah oui !! Ok du coup si f est klipschitzienne,  on a bien uniformément continue.

Si on considère d,d' équivalentes sur E

f k-lipschitzienne  => x,yE, d'(f(x),f(y))kd(x,y) <=>

?

La continuité est une notion entre espaces topologiques.
L'uniforme continuité l'est entre espaces uniformes.

Ces deux types d'espaces n'ont rien à voir si ce n'est que sur un espace uniforme, on peut définir une topologie à partir de la structure uniforme et que, partant, une fonction uniformément continue pour les structures uniformes sera continue pour les structures topologiques qui en découlent.

Structure uniforme = la donnée d'entourages (notion proche de celle de voisinage) des couples de points d'un espace X.
Structure topologique = la donnée de voisinages des points de l'espace X.

Exemple :

arctan : IR -> ]-/2;/2[ est uniformément continue.

tan : ]-/2;/2[  -> IR ne l'est pas _{(ouf, sinon ]-1;1[ serait complet)}

Néanmoins, les deux fonctions citées sont continues et bijectives, donc IR et ]-/2;/2[ sont homéomorphes.

Mais un homéomorphisme entre deux espaces topologiques n'impliquent pas que si l'un est complet, l'autre l'est; il faut pour cela, pourvoir trouver une fonction bijective uniformément continue telle que sa réciproque le soit aussi, c'est-à-dire un isomorphisme d'espace uniforme.

Merci monsieur ... C'est plus claire.

Ok je viens de vérifier votre  de 18h48 oui c'est un contre exemple embarrassant je voulais démontrer le théorème du point fixe sans passer par l'iteration successive ...

Je ne vois pas le rapport ?!?!
En supposant qu'on parle bien du même théorème de point fixe, la notion d'uniforme continuité n'y apparaît pas, mais juste celle de contraction stricte.

Après, une contraction stricte est uniformément continue, mais, ça, c'est purement incident.
Pour montrer le théorème de point fixe de Brouwer, il faut plus fort que l'uniforme continuité.

Ok merci monsieur je vais donc faire la méthode énoncée précédemment . Merci infiniment