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Continuité et dérivabilité avec fonction ln

Posté par
Samsco 06-06-20 à 13:11

**Bonjour**

Soit g la fonction définie par :

\left\lbrace\begin{array} l g(x)=3x²+2x+1~,~si~x<0 \\ g(x)=x+1+\ln (x+1)~,~si~x \geq 0 \end{array}

a) Démonter que g est continue sur \mathbb{R}

b) Étudier la dérivabilité de g en 0
Interpréter le résultat obtenu

Réponses

a) Je ne sais pas comment faire

b)
On a: g(0)=0+1+ln(0+1)=1

\lim_{x \to 0 \atop x<0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0 \atop x<0}(\dfrac{3x²+2x+1-1}{x})=\lim_{x \to 0 \atop x<0}(3x+2)=2

\lim_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac{x+1+\ln (x+1)-1}{x}=\lim_{x\to 0 \atop x>0}\dfrac{x+\ln(x+1)}{x}=\lim_{x\to 0 \atop x>0}(1+\dfrac{\ln(1+x)}{x})=2

\lim_{x \to 0 \atop x<0}g(x)=\lim_{x \to 0 \atop x>0}g(x)
g est dérivable en 0

Posté par
Kernelpanicre : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 13:16

Bonjour à toi aussi,

déjà tu peux tenter de tracer la graphe sur géogebra avec la condition 'Si', ça permet en général d'avoir l'intuition

Pour (a), que peux-tu dire de g sur ]-\infty, 0[ ? Idem sur ]0,+\infty[ ? Il reste à étudier la continuité en un point (le point de 'cassure' éventuel par la définition de g).

Pour (b), c'est ça

Posté par
Kernelpanicre : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 13:19

Je me suis trompé sur le second intervalle, c'est bien-sûr [0,+\infty[ ; et il faut faire attention à ne pas conclure trop vite (ce n'est pas parce qu'une fonction est continue sur deux morceaux dont la réunion est le domaine de définition qu'elle est continue sur le domaine de définition tout entier).

Posté par
carpediemre : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 13:20

salut

alors :

1/ relire la définition d'une fonction continue
2/ appliquer cette définition au cas présent

la dernière ligne latex répond à la question a/ ... et doit être justifiée

on attend la conclusion de b/ ..

et comme déjà dit plusieurs fois il faut arrêter d'écrire des égalités de limites qui peuvent ne pas avoir de sens ... mais apprends-tu ?

Posté par
fenamat84re : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 13:29

Bonjour,

a) Le problème réside sur la continuité de la fonction g en 0.

Calcule \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f(x) et \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}f(x) et tu compares.

Posté par
Samscore : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 13:48

Ok

Sur ]-\infty~;~0[, g(x)=3x²+2x+1
g est une fonction polynôme sur ]-\infty~;~0[ donc g est continue sur cet intervalle.

Sur [0~;~+\infty[
, g(x)=x+1+ln(x+1)
x+1 est continue sur R ( donc continue sur [0~;~+\infty[ mais je ne sais pas pour ln(x+1)

Posté par
Samscore : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 14:18

carpediem @ 06-06-2020 à 13:20


on attend la conclusion de b/ ..

Que dire d'autre après le fait que g soit dérivable en 0 ?

Posté par
Samscore : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 17:34

Sur [0 ; +[ , g(x)=x+1+ln(x+1)

La fonction ln(x+1) est continue sur ]-1 ; +[ donc la fonction g(x)=x+1+ln(x+1) est continue sur [0 ; +[

La fonction g est continue sur ]- ; 0[ et sur [0 ; +[
* Vérifions qu'elle est continue en 0

On a:

\lim_{x \to 0 \atop x<0}g(x)=3(0)²+2(0)+1=1=g(0)~et~\lim_{x \to 0 \atop x>0}g(x)=0+1+ln(0+1)=1=g(0)
La fonction g est continue en 0 donc elle est continue sur

Posté par
Samscore : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 06-06-20 à 22:56

J'espère que c'est correct

Posté par
fenamat84re : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 07-06-20 à 09:30

Citation :
La fonction g est continue sur ]- ; 0[ et sur [0 ; +[


C'est plutôt sur ]0;+[. Tu vérifies juste après la continuité en 0.
Sinon c'est correct.

Comme l'a dit carpediem, la dernière ligne latex répond déjà à la question a) : c'est-à-dire que tu viens de montrer que :

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}g(x)=\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}g(x)=g(0)
Donc la limite en g lorsque x tend vers 0 existe et vaut 1, d'où la continuité de la fonction g sur R.

b) On te demande d'interpréter ton résultat : qu'en conclus-tu ?

Posté par
carpediemre : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 07-06-20 à 10:02

en réfléchissant un peu on peut remarquer que :

si g(x) = 3x^2 + 2x + 1 $ et $ h(x) = x + 1 + \ln (x + 1) $ et $ f(x) = \left\lbrace \begin{matrix} g(x) &si &x < 0 \\h(x) &si &x\ge 0 \end{matrix}\right. alors :

g est un polynome donc (indéfiniment) définie, continue et dérivable sur R
du fait du ln h est (indéfiniment) définie,continue et dérivable sur ]-1, +oo[

g(0) = 1 = h(0)
g'(0) = h'(0) = 2

donc f est continue et dérivable en 0 ...

mais ce n'est probablement pas l'esprit de l'exercice ...

Posté par
Samscore : Continuité et dérivabilité avec fonction ln 10-06-20 à 19:12

fenamat84 @ 07-06-2020 à 09:30



C'est plutôt sur ]0;+[.

Pourquoi ça?

fenamat84 @ 07-06-2020 à 09:30



b) On te demande d'interpréter ton résultat : qu'en conclus-tu ?

Je ne vois pas ce que je peux dire à part que la fonction est continue et dérivable sur R


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