Ne sais tu pas raisonner par l'absurde ?

Si, j'ai essayé, c'est quoi l'absurde?

salut

C'est ca le probleme je ne comprend pas comment utiliser le faut que h est "continue"

Bonjour astroq123.
Montre que si h, supposée continue, ne s'annule pas en un point , alors il existe un intervalle ouvert contenant où h ne s'annule pas.

Si tu préfères une démonstration directe, il faut montrer que l'ensemble est dense dans .
Dans ce cas, tu prends un point de et à ce moment là, tu peux l'approcher par une suite   de points de O. Par continuité, tu auras :

Personnellement, je préfère la seconde, car elle revient à montrer que le complémentaire d'un ensemble de mesure (de Lebesgue, bien sûr !!) nulle dans est dense dans , la continuité de h n'intervenant qu'en dernier ressort, la cerise sur gâteau en somme.

Bon bah tu viens, carpi, on se fait un pousse-café

avec plaisir

Salut tous,
carpediem je connais c'est quoi une application continue et un ensemble de mesure nulle, et presque toutes les propriétés correspondantes,
mais il faut savoir utiliser la  propriété convenable dans le milieu convenable

je pense qu'on peut resoudre l'exercice de la façon suivante:

Soit tel que
on a :

alors

donc il existe

d'ou le resultat, alors est dense dans donc h=0 partout (c'est hypersimple, de verifier qu'une fonction cst sur une partie dense est cst partout (en utilisant les suites...)),

grace a vos indications, j'ai pu faire la preuve

maintenant (question supp) si j'avais deux fonction f et h definies et continues sur le meme borelien et a valeurs dans tel que alors le resultat reste-t-il le meme? ou est-ce qu'il faut preciser la nature de (ouvert, fermé..)?

rien compris à ta démonstration ...

si f = h pp alors f - h = 0 pp

...

une partie K de dense s et seulement si on



i.e. tout ouvert non vide de rencontre K

Pour la deuxieme partie je connais que mais j'ai pas pricisé c'est quoi l'ensemble de depart U (s'il est un ouvert ou un fermé), juste un borelien, cela influe-t-il sur le resultat?

excusez moi c'est

or (la contraposée donne.....)

Bon, montrons simplement que le complémentaire d'un ensemble de mesure nulle est dense dans .

Soit un ensemble de mesure nulle et . Le but est de montrer que .
Soit . Deux cas sont à envisager :

- et donc tout voisinage de rencontre et on est content.

- et il faut montrer que tout intervalle ouvert contenant rencontre .

Soit tel que .
Comme alors forcément puisque est supposé de mesure nulle.
Donc il existe . Et par la force des choses,
Ce que l'on voulait.

Si donc , son complémentaire est dense dans .
Par continuité, h est identiquement nulle.

Démonstration par contraposition :

Supposons h non identiquement nulle et continue :

Soit telle que .
Par continuité, il existe tel que   et donc est non nulle sur .

Donc

Par contraposition il vient donc :

merci pour votre detail, l'idée est presque la meme,
Que pensez vous de cette question supp? (on connait que f-h=0 p.p mais faut-il etre precis pour U?)

astroq123 @ 12-04-2018 à 22:11

Salut tous,

si j'avais deux fonction f et h definies et continues sur le meme borelien et a valeurs dans tel que alors le resultat reste-t-il le meme? ou est-ce qu'il faut preciser la nature de (ouvert, fermé..)?

Quand on parle de fonctions continues, en général, on précise que son domaine est ouvert ou est l'adhérence d'un ouvert. Donc, oui, il faut préciser qui est U.

Dans le cas où U est un ouvert ou l'adhérence d'un ouvert, alors oui, entraîne .

Mais on peut aussi parler d'une fonction f continue de domaine borélien quelconque, mais qui ne soit pas de la catégorie décrite ci-dessus, en considérant f comme une application et en utilisant la topologie induite ainsi que la tribu induite, ainsi que la mesure induite; ça peut être intéressant : il faudrait alors distinguer les points isolés des points d'accumulation... l'ensemble des points isolés sera forcément de mesure nulle et donc on pourra avoir des fonctions continues vérifiant et qui ne seront pas identiquement nulles.

Conclusion : de manière générale, le résultat n'est pas le même.

Prenons un exemple simple : avec tribu, topologie et mesure induites. On a .
On a bien et pourtant f est bien continue et non identiquement nulle.

Supposant que U est un ouvert de , alors pour verifier que f=h partout, en suivant votre deuxieme preuve (par contraposée), nous sommes arriver a calculer la mesure de lebesgue d'une boule qui est long (on peut prendre la norme euclidienne, appliquer fubini.....), je ne s'il y a une autre manière pour dire que

Si U est un ouvert non vide alors il est de mesure non nulle.
Tu poses et tu te ramènes au cas du début.
Alors dans ma démonstration, j'ai pris . Qu'à cela ne tienne.

Si est telle que alors par continuité, il existe un tel que .

Donc

et puis tant qu'on y est :

merci jsvdb pour votre aide et indications!!

L'autrefois, j'ai posté un exercice, qui est vraiment une casse-tete, j'espère si quelqu'un peut m'aider ou me donner des indications et des pistes pour le resoudre voici le lien :
independance et v.a.