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Niveau terminale
Continuité et inégalité des accroissements finis
Posté par Nijiro
Bonjour à tous!
On sait bien que pour une fonction f définie de [a;b] vers 
, continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[, s'il existe un réel k telle que pour tout x de ]a;b[, |f'(x)|
k, alors:
(x;y)
[a;b]2: |f(x)-f(y)|k|x-y|.
Mais sera-t-il possible de démontrer la continuité d'une fonction sur s'il nous donne cette inégalité comme point de départ/ donnée?
Merci d'avance.
Oui si une fonction f satisfait cette condition, alors elle est automatiquement continue .
Si tu prend et
, alors si
, on a
, ce qui montre la continuité en x ...
On montre par définition que f est continue sur , autrement dit, on montre que: (
> 0)(
>0); (x), c-à-d que:
soit I=]y-1;y+1[\{y} un voisinage pointé de y.
xI
y-1<x<y+1
|x-y|<1
on a : |f(x)-f(y)|<, d'ailleurs |f(x)-f(y)|k|x-y|, donc: |f(x)-f(y)|k|x-y|<, du coup: |x-y|</k
soit =inf(1;/k).
on a prouvé alors que:
(> 0)(>0); (x) .
d'où f est continue en tout point y de , c-à-d qu'elle est continue sur .
En fait, il s'agit d'une fonction k-lipschitzienne qui est uniformément continue sur un intervalle I de. Mais je ne sais pas comment interpréter la continuité uniforme. Il nous donne une définition à admettre et un théorème prouvé mais je veux comprendre comment une fonction est uniformément continue?
Nijiro @ 18-10-2020 à 12:30
On montre par définition que f est continue sur, autrement dit, on montre que: (> 0)(>0); (x)-f(y)|<\epsilon))
, c-à-d que:
=f(y))
On montre par définition que f est continue sur
, autrement dit, on montre que: (> 0)(>0); (x)Justement si tu fixes