Oui si une fonction f satisfait cette condition, alors elle est automatiquement continue .
Si tu prend et , alors si , on a , ce qui montre la continuité en x ...

On montre par définition que f est continue sur , autrement dit, on montre que: (> 0)(>0); (x), c-à-d que:


soit I=]y-1;y+1[\{y} un voisinage pointé de y.
xIy-1<x<y+1|x-y|<1
on a : |f(x)-f(y)|<, d'ailleurs |f(x)-f(y)|k|x-y|, donc: |f(x)-f(y)|k|x-y|<, du coup: |x-y|</k
soit =inf(1;/k).
on a prouvé alors que:
(> 0)(>0); (x) .
d'où f est continue en tout point y de , c-à-d qu'elle est continue sur .

En fait, il s'agit d'une fonction k-lipschitzienne qui est uniformément continue sur un intervalle I de. Mais je ne sais pas comment interpréter la continuité uniforme. Il nous donne une définition à admettre et un théorème prouvé mais je veux comprendre comment une fonction est uniformément continue?